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L'hypothèse du continu

Le théorème de Cantor nous dit que $ \aleph_{E+1}\leq 2^{\aleph_E}$ (il est clair que $ 2^{\aleph_E}$ est le cardinal de l'ensemble des parties de $ E$).

Définition [Hypothèse du continu - hypothèse du continu généralisée] On appelle hypothèse du continu l'assertion $ \aleph_1=2^\aleph_0$.
On appelle hypothèse du continu généralisée l'assertion $ \aleph_{E+1}=2^\aleph_E$ pour tout $ E$ ordinal.

Propriété:
L'hypothèse du continu est équivalente à l'assertion selon laquelle les parties de $ {\omega}$ peuvent être bien ordonnées de manière à ce que tout segment initial strict soit dénombrable.

Théorème Si la théorie de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel plus hypothèse du continu généralisée est consistante.
Démonstration Trop dure !



C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Berard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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