Le théorème de Cantor nous dit que (il est clair
que
est le cardinal de l'ensemble des parties de ).
Définition [Hypothèse du continu - hypothèse du continu généralisée]
On appelle hypothèse du continu l'assertion
.
On appelle hypothèse du continu généralisée l'assertion
pour tout ordinal.
Propriété:
L'hypothèse du continu est équivalente à l'assertion
selon laquelle les parties de peuvent être bien ordonnées
de manière à ce que tout segment initial strict soit dénombrable.
Théorème
Si la théorie de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel plus hypothèse du continu généralisée est consistante.
Démonstration Trop dure !
(il est clair
que
est le cardinal de l'ensemble des parties de 
).
pour tout 
peuvent être bien ordonnées
de manière à ce que tout segment initial strict
