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L'axiome de fondation

Axiome [Axiome de fondation] On appelle axiome de fondation l'axiome selon lequel pour tout ensemble $ E$ non vide il existe $ F$ tel que $ F \in E$ et $ F \cap E= \emptyset$.

Cet axiome entraîne, par exemple, qu'il n'existe pas d'ensemble $ x$ tel que $ x =\{x\}$, ni d'ensemble $ x$ tel que $ x \in x$.

Théorème Si la théorie de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zaermelo-Fraenkel plus axiome de fondation est consistante.
Démonstration Dure!

Théorème Il n'existe pas de suite $ U_n$ d'ensembles telle que $ U_{n+1} \in U_n$ pour tout $ n$.
Démonstration La preuve, facile, nécessite l'axiome de fondation.

Théorème Si l'on utilise l'axiome de fondation, alors un ensemble $ E$ est un ordinal si et seulement si il est transitif et si deux éléments $ u$ et $ v$ de $ E$ vérifient au moins une des assertions suivantes:
$ \bullet $$ u \in v$
$ \bullet $$ u=v$
$ \bullet $$ v \in u$

Démonstration La preuve est plus difficile, et je ne la donne pas ici car elle dépasse mon propos de simple brève introduction à la théorie des ensembles.

Bien sûr on peut montrer que si ces hypothèses sont vérifiées alors pour tout couple $ (u,v)$ c'est l'une et une seule des assertions qui est vérifiée.

Théorème Si l'on utilise l'axiome de fondation, alors pour tout ensemble $ E$ il existe un unique ensemble transitif contenant $ E$ et inclus dans tout ensemble transitif incluant $ E$.
Démonstration Non triviale.

Définition On appelle fermeture transitive de $ E$ l'ensemble transitif dont l'existence est garantie par le théorème [*].

Propriété:
La fermeture transitive de $ E$ est la réunion de $ E$ et de l'union des fermetures transitives des éléments de $ E$.

Définition Une relation $ {\cal R}$ est dite extensive si $ \forall (y,z) [\forall x (x{\cal R}y \iff x{\cal R}z) \rightarrow y=z]$.
Un ensemble est dit extensif si $ \in$ est une relation extensive sur cet ensemble. C'est à dire que si deux éléments ont même intersection avec l'ensemble, alors ils sont égaux.

Propriétés:
Un ensemble transitive est extensif.
Un ensemble extensif est isomorphe à un ensemble transitif, et l'isomorphisme est unique (nécessitant l'axiome de fondation).

Il est possible de prouver que l'axiome de fondation est relativement consistant, c'est à dire que la théorie basée sur les axiomes de Zermelo-Fraenkel est consistante si et seulement si la théorie basée sur les mêmes axiomes plus l'axiome de fondation est consistante.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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