L'axiome de fondation

Axiome [Axiome de fondation] On appelle axiome de fondation l'axiome selon lequel pour tout ensemble non vide il existe tel que et .

Cet axiome entraîne, par exemple, qu'il n'existe pas d'ensemble tel que , ni d'ensemble tel que .

Théorème Si la théorie de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zaermelo-Fraenkel plus axiome de fondation est consistante.
Démonstration Dure!

Théorème Il n'existe pas de suite d'ensembles telle que pour tout .
Démonstration La preuve, facile, nécessite l'axiome de fondation.

Théorème Si l'on utilise l'axiome de fondation, alors un ensemble est un ordinal si et seulement si il est transitif et si deux éléments et de vérifient au moins une des assertions suivantes:




Démonstration La preuve est plus difficile, et je ne la donne pas ici car elle dépasse mon propos de simple brève introduction à la théorie des ensembles.

Bien sûr on peut montrer que si ces hypothèses sont vérifiées alors pour tout couple c'est l'une et une seule des assertions qui est vérifiée.

Théorème Si l'on utilise l'axiome de fondation, alors pour tout ensemble il existe un unique ensemble transitif contenant et inclus dans tout ensemble transitif incluant .
Démonstration Non triviale.

Définition On appelle fermeture transitive de l'ensemble transitif dont l'existence est garantie par le théorème .

Propriété:
La fermeture transitive de est la réunion de et de l'union des fermetures transitives des éléments de .

Définition Une relation est dite extensive si .
Un ensemble est dit extensif si est une relation extensive sur cet ensemble. C'est à dire que si deux éléments ont même intersection avec l'ensemble, alors ils sont égaux.

Propriétés:
Un ensemble transitive est extensif.
Un ensemble extensif est isomorphe à un ensemble transitif, et l'isomorphisme est unique (nécessitant l'axiome de fondation).

Il est possible de prouver que l'axiome de fondation est relativement consistant, c'est à dire que la théorie basée sur les axiomes de Zermelo-Fraenkel est consistante si et seulement si la théorie basée sur les mêmes axiomes plus l'axiome de fondation est consistante.