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Résumé de théorie des ensembles

En résumé on a les implications de consistance du schéma [*].

Figure: $ ZF$ désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel. $ ZF \setminus infini $ désigne la même théorie mais privée de l'axiome de l'infini et muni de sa négation. $ AC$ désigne l'axiome du choix. $ not(AC)$ désigne la négation de $ AC$. $ COH$ désigne l'axiome selon lequel les parties de $ {\omega}$ ne peuvent pas être bien ordonnes. $ AF$ désigne l'axiome de fondation. $ ACC$ désigne l'axiome d'accessibilité. $ CH$ désigne l'hypothèse du continu, et $ GCH$ l'hypothèse du continu généralisée. Une flèche relie une théorie $ T$ à une théorie $ T'$ si $ T'$ est plus forte que $ T$, c'est-à-dire que tous les théorèmes de $ T$ sont des théorèmes de $ T'$. Notez bien que toutes les théories présentes sur la figure sont consistantes si et seulement si $ ZF$ est consistante. Notez bien aussi que si $ ZF$ est consistante, alors il est impossible de le prouver; mais que par contre si elle ne l'est pas, on dispose d'un algorithme théorique permettant en temps fini de le prouver...
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =9cm
\epsfbox{consis.eps}\end{displaymath}\end{figure}


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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Berard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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