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Continuité et limite dans les espaces métriques ou normés

Définition [Continuité séquentielle] $ f$ est séquentiellement continue en $ x$ si et seulement si pour toute suite $ x_n$ convergeant vers $ x$ les $ f(x_n)$ convergent vers $ f(x)$.

Théorème Soit $ X$ à base dénombrable de voisinages, alors toute fonction séquentiellement continue est continue.

Démonstration: On considère une suite de voisinages décroissants $ (V_n)$ de $ x$. Soit $ W$ un voisinage de $ f(x)$. Si $ f^{-1}(W)$ n'est pas un voisinage de $ x$, alors on peut trouver $ x_n \in V_n \setminus f^{-1}(W)$; $ x_n$ tend vers $ x$; or $ f(x_n) \not \in W$, et donc $ f(x_n)$ ne peut pas tendre vers $ f(x)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Si $ f$ est séquentiellement continue sur un espace métrique, alors $ f$ est continue.

Démonstration: Il faut simplement considérer l'exercice [*]$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... Ce corollaire servira notamment pour le théorème [*].

Proposition [Définition $ \epsilon-\delta$ de la continuité] Soit $ f$ application entre espaces métriques; $ f$ est continue en $ x$ si pour tout $ \epsilon$ il existe $ \delta$ tel que $ d(x,x')<\delta \rightarrow d(f(x'),f(x))<\epsilon$

Démonstration: Il suffit de remarquer que la famille des boules ouvertes de rayon $ \epsilon$ et de centre $ f(x)$ est une base de voisinages de $ f(x)$, et que la famille des boules ouvertes de rayon $ \delta$ et de centre $ x$ est une base de voisinages de $ x$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Continuité uniforme] Une application $ f$ d'un espace métrique dans un autre espace métrique est dite uniformément continue si, pour tout $ \epsilon >0$ il existe $ \alpha >0$ tel que, pour tout $ (x,y) \in X^2$, $ d(x,y)<\alpha \rightarrow d(f(x),f(y))<\epsilon$.

Attention! La continuité uniforme n'est pas une notion topologique mais une notion métrique; i.e. deux distances équivalentes ont la même notion de continuité uniforme (que l'on change la distance dans l'espace de départ ou dans l'espace d'arrivée), mais le fait que deux métriques soient associées à la même topologie ne suffit pas pour qu'elles aient la même notion de continuité uniforme.$ \sqcap$$ \sqcup$

Remarque La continuité uniforme est une notion très importante ayant de nombreuses applications.

Pour montrer la continuité uniforme, on dispose des outils suivants:
- une fonction Lipschitzienne entre métriques est uniformément continue
- une fonction bornée de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ et monotone est uniformément continue
- une fonction continue sur un compact est uniformément continue (théorème de Heine [*], voir le dit théorème pour d'innombrables applications)
- si $ p$ et $ q$ sont conjugués et si $ f$ et $ g$ appartiennent à $ L^p$ et $ L^q$ de $ \mathbb{R}^n$ respectivement, alors $ f*g$ (convoluée) est uniformément continue.

Une propriété essentielle est le théorème [*].

Définition On dit qu'une suite $ f_n$ d'applications de $ X$ dans $ Y$ avec $ Y$ un espace métrique converge uniformément vers $ f$ si pour tout $ \epsilon$ positif il existe $ N$ tel que pour tout $ n\geq N$ et tout $ x$ dans $ X$ $ d(f(x),f_n(x)) < \epsilon $.

Application(s)... Les applications et des exemples classiques:

Tout d'abord, quelques résultats célèbres de densité pour la topologie de la convergence uniforme: voir le théorème de Runge [*], le théorème de Stone [*] (avec son corollaire le théorème de Stone-Weierstrass; voir en particulier les polynômes de Bernstein $ B_n(f)(x)=\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n})C_n^kx^k(1-x)^{n-k}$ qui convergent uniformément vers $ f$ sur $ [0,1]$, voir théorème [*]).

Il faut absolument se rappeler la convergence uniforme d'une série entière sur tout disque de rayon strictement inférieur au rayon de convergence.

Quelques résultats célèbres utilisant la convergence uniforme: [*],[*] (intégration de fonctions réglées), [*] (sur la limite uniforme d'une suite de fonctions holomorphes). Quelques variantes à notre convergence uniforme ci-dessus définie, et d'autres résultats (notamment métrisabilité): voir définition [*], et les résultats qui suivent; voir aussi Ascoli et ses conséquences, [*].

Il convient enfin de signaler quelques applications de la convergence uniforme aux espaces $ L^p$ et à l'intégration:
- théorème de Plancherel: il existe un unique isomorphisme de $ L^2$ dans $ L^2$ appelé transformation de Fourier $ L^2$ notée $ f\mapsto \hat f$ telle que pour tout $ f$ dans $ L^1\cap L^2$ $ \hat f$ est la transformée de Fourier $ L^1$ de $ f$, $ {\parallel}\hat f {\parallel}_2={\parallel}f {\parallel}_2$ (voir par exemple le livre [16])
- théorème de Sard: voir [6].
- Intégration au sens de Riemman: voir partie [*].

Définition [Applications lipschitzienne]

Une application $ h$ est dite lipschitzienne s'il existe $ K \in [0, + \infty[$ tel que

$\displaystyle d(h(x),h(x')) \leq K.d(x,x')$

On dit aussi qu'elle est $ K$-lipschitzienne.

On définit la constante de Lipschitz par

$\displaystyle Lip(h)=sup \{ \frac{d(h(x),h(x'))}{d(x,x')} \vert x,x' \in X, x \neq x'\}$


Proposition
$ \bullet $Les fonctions lipschitziennes sont continues, et même uniformément continues.

$ \bullet $Les fonctions $ C^1$ d'un compact de $ \mathbb{R}$ dans un espace vectoriel normé sont Lipschitziennes, ainsi que les fonctions dérivables de $ \mathbb{R}$ dans un espace vectoriel normé à dérivée bornée (voir le théorème [*]).


Exemple: la distance $ x\mapsto d(x,x_0)$ sur un espace métrique $ E$ avec $ x_0$ appartenant à $ E$ est $ 1$-lipschitzienne de $ E$ dans $ \mathbb{R}$. La distance de $ E\times E$ dans $ \mathbb{R}$ est lipschitzienne, pour toutes les normes usuelles.

Définition [Norme d'une application linéaire] Si $ \phi$ est une application linéaire entre espaces normés, on définit sa norme $ \parallel \phi \parallel$ par

$ \parallel \phi \parallel = sup \{\parallel \phi(x) \parallel / \parallel x \parallel \leq 1 \}$

Cette norme peut a priori être infinie - ce qui signifie donc que l'appellation "norme", bien que classique, est abusive. Il ne s'agit d'une norme qu'en se restreignant à l'ensemble des applications pour lesquelles cette "norme" est finie.

Lemme

$\displaystyle \parallel \phi \parallel = sup \{ \parallel \phi(x) \parallel / \...
... sup \{ \frac{\parallel \phi(x) \parallel}{\parallel x \parallel} / x \neq 0 \}$


Démonstration: Il suffit d'avoir la patience de le vérifier...$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Une application linéaire entre espaces normés est continue si et seulement si sa norme est $ < \infty$. Elle est continue si et seulement si elle est lipschitzienne et son coefficient de Lipschitz est égal à sa norme.

Démonstration: Si $ \phi$ est continue en zéro, il est clair que pour $ r$ suffisamment petit, $ \parallel x \parallel < r$ implique $ \parallel \phi(x) \parallel < 1$; on constate alors par linéarité que $ \parallel \phi \parallel \leq r^{-1}$.

Réciproquement si $ \phi$ a une norme finie, alors $ \phi$ est lipschtzienne $ \parallel \phi(x) - \phi(y) \parallel = \parallel \phi (x-y)\parallel \leq \parallel \phi \parallel . \parallel (x-y)\parallel$, et $ Lip(\phi) \leq \parallel \phi \parallel$; en considérant $ x$ de norme $ 1$, on constate que $ Lip(\phi)=\parallel \phi \parallel$; d'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Exercice 6 (Critère de continuité pour une forme linéaire sur un espace normé)   $ \phi$ fonction de $ E$ dans son corps $ K=\mathbb{R}$ ou $ K=\mathbb{C}$ est continue si et seulement si son noyau $ \phi^{-1}(0)$ est fermé.

Démonstration: Si $ \phi$ est continue, il est clair que l'image réciproque d'un singleton est un fermé. Réciproquement, par contraposée, supposons que $ \phi$ n'est pas continue, alors $ f$ n'est pas non plus séquentiellement continue (voir le corollaire [*]), donc il existe une suite $ x_n$ tendant vers 0 telle que $ \phi(x_n)$ ne tend pas vers 0. La suite $ y_n=\frac{x_n}{\phi(x_n)}$ (définie pour les $ n$ tels que $ \phi(x_n)$ soit $ >\epsilon >0$ après extraction d'une sous-suite) tend vers 0. On considère alors un certain $ a$ tel que $ \phi(a)=1$ (si $ \phi$ est nulle elle est continue), et on constate que la suite $ z_n=y_n-a$ tend vers $ -a \not \in \phi^{-1}(0)$, alors que $ z_n \in \phi^{-1}(0)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Borné] Soit $ E$ un espace normé. Un sous-ensemble $ A \subset E$ est dit borné si $ sup \{ \parallel x \parallel \vert x \in A \} < + \infty$.
On dit que l'application $ f$ est bornée sur $ B$ si et seulement si $ f(B)$ est borné.

Exercice 7   Soit $ \phi$ une application linéaire entre espaces normés. Les assertions suivantes sont équivalentes:
$ \bullet $$ \phi$ est continue
$ \bullet $$ \phi$ est continue en 0
$ \bullet $$ \phi$ est bornée sur une boule de rayon $ >0$
$ \bullet $$ \phi$ est bornée sur une sphère de rayon $ >0$

Démonstration: Ces preuves sont faciles, je me contente de rappeler quelques faits qui permettent de les rédiger proprement.

La topologie est invariante par translation (puisque toute translation est un homéomorphisme), donc la continuité en 0 équivaut à la continuité en un point quelconque.

Le fait que $ \phi$ soit bornée sur une boule équivaut trivialement au fait que $ \phi$ soit bornée sur une sphère (par linéarité).

Si $ \phi$ est bornée sur une boule, par linéarité il est clair qu'elle tend vers 0 en 0.

Enfin si $ \phi$ est continue, on a montré un peu plus tôt que sa norme est finie, ce qui se voit facilement au fait que pour $ x$ suffisamment petit, on doit avoir $ \phi(x)$ petit, et donc pour $ {\parallel}x {\parallel}< 1$, $ {\parallel}\phi(x){\parallel}\leq 1/r$. $ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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