Définition [Valeur d'adhérence]
Soit
, avec et des espaces topologiques; on dit que est une valeur d'adhérence de en si et seulement si pour tout
et tout
on a
.
Lemme
L'ensemble des valeurs d'adhérence de en est donné par l'intersection des
, pour voisinage de ; en particulier c'est un fermé.
Démonstration:Soit une valeur d'adhérence, alors par définition appartient à l'adhérence de
pour tout voisinage de . La réciproque, tout aussi simple, est laissée de côté.
Corollaire
Si n'est pas isolé, alors les limites sont des valeurs d'adhérence.
Démonstration:Clair.
Proposition [Le cas des suites]
Soit une suite dans un espace topologique .
Les limites de suites extraites sont des valeurs d'adhérence Si une valeur d'adhérence a une base dénombrable de voisinages, alors c'est la limite d'une suite extraite.
Démonstration:
l'infini n'est pas isolé pour la topologie usuelle de
. Donc les limites d'une suite sont des valeurs d'adhérence. Et les valeurs d'adhérence d'une suite extraite sont clairement des valeurs d'adhérence de la suite.
Soit une suite de voisinages de , valeur d'adhérence de ; soit tel que
soit inclus dans , tel que soit inclus dans et
, tel que soit inclus dans et
, et ainsi de suite...
Corollaire
Dans un espace métrique, les valeurs d'adhérence d'une suite sont exactement les limites des sous-suites extraites.
Attention à l'hypothèse métrique! Dans le cas général, ce n'est pas vrai, voir .