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Valeur d'adhérence

Définition [Valeur d'adhérence] Soit $ f:X \setminus \{x_0\} \rightarrow Y$, avec $ X$ et $ Y$ des espaces topologiques; on dit que $ y \in Y$ est une valeur d'adhérence de $ f$ en $ x_0$ si et seulement si pour tout $ V_{x_0} \in {\cal V}(x_0)$ et tout $ V_y \in {\cal V}(y)$ on a $ V_y \cap f(V_{x_0}\setminus\{x_0\}) \neq \emptyset$.

Lemme L'ensemble des valeurs d'adhérence de $ f$ en $ x_0$ est donné par l'intersection des $ \overline {f(V_{x_0}\setminus\{x_0\})}$, pour $ V_{x_0}$ voisinage de $ x_0$; en particulier c'est un fermé.

Démonstration: Soit $ y$ une valeur d'adhérence, alors par définition $ y$ appartient à l'adhérence de $ \overline {f(V\setminus\{x_0\})}$ pour tout $ V$ voisinage de $ x_0$. La réciproque, tout aussi simple, est laissée de côté.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Si $ x_0$ n'est pas isolé, alors les limites sont des valeurs d'adhérence.

Démonstration: Clair.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Le cas des suites] Soit $ x_n$ une suite dans un espace topologique $ X$.
$ \bullet $Les limites de suites extraites sont des valeurs d'adhérence
$ \bullet $Si une valeur d'adhérence a une base dénombrable de voisinages, alors c'est la limite d'une suite extraite.

Démonstration:

$ \bullet $l'infini n'est pas isolé pour la topologie usuelle de $ \mathbb{N}$. Donc les limites d'une suite sont des valeurs d'adhérence. Et les valeurs d'adhérence d'une suite extraite sont clairement des valeurs d'adhérence de la suite.

$ \bullet $Soit $ (V_n)$ une suite de voisinages de $ l$, valeur d'adhérence de $ x_n$; soit $ \phi(1)$ tel que $ x_{\phi(1)}$ soit inclus dans $ V_1$, $ \phi(2)$ tel que $ \phi(2)$ soit inclus dans $ V_2$ et $ \phi(1)<\phi(2)$, $ \phi(3)$ tel que $ \phi(3)$ soit inclus dans $ V_3$ et $ \phi(2)<\phi(3)$, et ainsi de suite...$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Dans un espace métrique, les valeurs d'adhérence d'une suite sont exactement les limites des sous-suites extraites.

Attention! Attention à l'hypothèse métrique! Dans le cas général, ce n'est pas vrai, voir [*].


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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