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Topologie quotient

On suppose $ X$ muni d'une relation d'équivalence $ {\cal R}$. On note $ \pi$ la projection canonique de $ X$ sur l'ensemble quotient.

Définition [Topologie quotient] La topologie quotient est définie comme suit:
$ U \subset X / {\cal R}$ est ouvert si et seulement si $ \pi^{-1}(U)$ est ouvert.

On peut vérifier facilement qu'il s'agit bien d'une topologie.

Proposition

Soit $ X$ un espace topologique, et $ {\cal R}$ une relation d'équivalence sur $ X$. On note $ \Pi$ la projection canonique de $ X$ sur $ X/{\cal R}$.

Les propriétés suivantes de la topologie quotient sur $ X/{\cal R}$ sont fondamentales:

- la projection canonique est continue (c'est à dire que l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert)

- la projection canonique est ouverte (c'est à dire que l'image de tout ouvert est un ouvert) si la relation d'équivalence est associée à un groupe agissant par homéomorphismes sur $ X$ (voir partie [*]).


Démonstration: Il est clair par définition que la projection canonique est continue. Pour la réciproque il suffit de voir que si $ U$ est un ouvert de $ X$, $ \Pi^{-1}(\Pi(U))$ est la réunion des $ g(U)$ pour $ g$ dans le groupe d'homéomorphismes agissant sur $ X$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... La topologie quotient sert un peu partout, par exemples elle définit une topologie sur un espace projectif et le rend compact pour cette topologie (voir le théorème [*]).


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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