On suppose muni d'une relation d'équivalence . On note la projection canonique de sur l'ensemble quotient.
Définition [Topologie quotient]
La topologie quotient est définie comme suit:
est ouvert si et seulement si
est ouvert.
On peut vérifier facilement qu'il s'agit bien d'une topologie.
Proposition
Soit un espace topologique, et une relation d'équivalence sur . On note la projection canonique de sur
.
Les propriétés suivantes de la topologie quotient sur
sont fondamentales:
- la projection canonique est continue (c'est à dire que l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert)
- la projection canonique est ouverte (c'est à dire que l'image de tout ouvert est un ouvert) si la relation d'équivalence est associée à un groupe agissant par homéomorphismes sur (voir partie ).
Démonstration:Il est clair par définition que la projection canonique est continue. Pour la réciproque il suffit de voir que si est un ouvert de ,
est la réunion des pour dans le groupe d'homéomorphismes agissant sur .
La topologie quotient sert un peu partout, par exemples elle définit une topologie sur un espace projectif et le rend compact pour cette topologie (voir le théorème ).
muni d'une relation d'équivalence 
la projection canonique de 
est ouvert si et seulement si
est ouvert.
la projection canonique de 
.
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est un ouvert de 
est la réunion des 
pour 
dans le groupe d'homéomorphismes agissant sur 
La topologie quotient sert un peu partout, par exemples elle définit une topologie sur un espace projectif et le rend compact pour cette topologie (voir le théorème 
