On suppose muni d'une relation d'équivalence . On note la projection canonique de sur l'ensemble quotient.
Définition [Topologie quotient]
La topologie quotient est définie comme suit:
est ouvert si et seulement si
est ouvert.
On peut vérifier facilement qu'il s'agit bien d'une topologie.
Proposition
Soit un espace topologique, et une relation d'équivalence sur . On note la projection canonique de sur
.
Les propriétés suivantes de la topologie quotient sur
sont fondamentales:
- la projection canonique est continue (c'est à dire que l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert)
- la projection canonique est ouverte (c'est à dire que l'image de tout ouvert est un ouvert) si la relation d'équivalence est associée à un groupe agissant par homéomorphismes sur (voir partie ).
Démonstration:Il est clair par définition que la projection canonique est continue. Pour la réciproque il suffit de voir que si est un ouvert de ,
est la réunion des pour dans le groupe d'homéomorphismes agissant sur .
La topologie quotient sert un peu partout, par exemples elle définit une topologie sur un espace projectif et le rend compact pour cette topologie (voir le théorème ).