Lemme
Une intersection quelconque de topologies est une topologie.
Démonstration:Evident en revenant à la définition d'une topologie.
Définition
Si une topologie est incluse dans une topologie , on dit que est plus fine que , ou que est moins fine que .
Proposition
Soit une famille de parties de ; l'intersection de toutes les topologies contenant est une topologie, c'est la plus petite topologie contenant . On la note
, et on dit que c'est la topologie engendrée par .
est la famille des réunions arbitraires d'intersections finies de parties de
. Les intersections finies de parties de
forment une base d'ouverts pour cette topologie.
Démonstration:Il suffit de considérer le lemme pour avoir l'existence de la plus petite topologie contenant . Le reste est un petit exercie pas trop dur...