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Topologie définie par une famille d'applications

Proposition Etant donné $ Z$ un ensemble, et $ X_i$ une famille d'espaces topologiques, avec $ f_i:Z \rightarrow X_i$, il existe une plus petite topologie sur $ Z$ rendant toutes les $ f_i$ continues; c'est la topologie engendrée par les $ f_i^{-1}(U)$ avec $ U$ ouvert. Une base de cette topologie est donc l'ensemble des intersections finies d'images réciproques d'ouverts par des $ f_i$.

Démonstration: Facile avec la proposition [*]$ \sqcap$$ \sqcup$

Remarquons que pour $ A \subset X$ la topologie engendrée par la fonction (dite injection canonique) qui à $ x$ dans $ A$ associe $ x$ dans $ X$ est la topologie induite sur $ A$ par celle de $ X$.

Théorème Dans la situation ci-dessus, une application $ f$ de $ Y$ dans $ Z$ est continue si et seulement si toutes les composées $ f_i \circ f$ sont continues.

Application(s)... On verra une application pour la continuité lorsque l'espace d'arrivée est un espace produit; théorème [*]. Ce théorème permet aussi de montrer la proposition [*].

Démonstration: Application immédiate des définitions.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition On dit que la famille d'applications $ f_i$ est séparante si et seulement si pour tout $ (x,y)$ il existe $ i$ tel que $ f_i(x) \neq f_i(y)$.

Proposition Si les $ f_i$ sont séparantes et si les topologies sur les $ X_i$ sont séparées, alors la topologie engendrée est séparée.

Application(s)... Ce lemme permettra de montrer qu'un produit d'espaces séparés est séparé, théorème [*].

Démonstration: Supposons que $ x$ et $ y$ soient distincts; alors puisque la famille d'applications est séparante il existe $ f_i$ telle que $ f_i(x) \neq f_i(y)$; et puisque $ X_i$ est séparé, il existe un ouvert $ U$ contenant $ x$ et un ouvert $ V$ contenant $ y$ tels que $ U$ et $ V$ sont disjoints. Les ensembles $ f_i^{-1}(U)$ et $ f_i^{-1}(V)$ sont ouverts, puisque $ f_i$ est continue (par définition de la topologie engendrée!), et disjoints. Le résultat en découle.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Topologie faible et topologie faible *] On appelle topologie faible sur l'espace normé $ E$ la topologie engendrée par l'ensemble des formes linéaires continues de $ E$ dans $ K$. On appelle topologie faible * sur le dual de l'espace normé $ E$ la topologie engendré par l'ensemble des applications qui à $ \phi$ associent $ \phi(x)$, étant donné $ x \in X$.

Proposition La topologie forte définie en [*] est plus fine que la topologie faible *.

Démonstration: En vertu du théorème [*], il suffit de voir que pour tout $ x$ la fonction qui à $ \phi$ associe $ \phi(x)$ est continue pour la norme, ce qui est facile à prouver (en se ramenant en zéro, une application linéaire étant continue si et seulement si elle est continue en zéro).$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition La topologie forte d'un espace vectoriel normé est plus fine que la topologie faible.

Démonstration: En vertu du théorème [*], il suffit de voir que toute $ \phi$ dans $ E'$ est continue pour la norme, ce qui est évident.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition La topologie forte sur le dual $ E'$ est plus fine que la topologie faible, elle même plus fine que la topologie faible *.

Démonstration: La première partie étant déjà montrée, il suffit de voir que la topologie faible est plus fine que la topologie faible *. Or ceci découle simplement du fait que si deux familles d'applications sont incluses l'une dans l'autre, alors les topologies engendrées sont plus fines l'une que l'autre.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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