Topologie définie par une famille d'applications

Proposition Etant donné un ensemble, et une famille d'espaces topologiques, avec , il existe une plus petite topologie sur rendant toutes les continues; c'est la topologie engendrée par les avec ouvert. Une base de cette topologie est donc l'ensemble des intersections finies d'images réciproques d'ouverts par des .

Démonstration: Facile avec la proposition

Remarquons que pour la topologie engendrée par la fonction (dite injection canonique) qui à dans associe dans est la topologie induite sur par celle de .

Théorème Dans la situation ci-dessus, une application de dans est continue si et seulement si toutes les composées sont continues.

On verra une application pour la continuité lorsque l'espace d'arrivée est un espace produit; théorème . Ce théorème permet aussi de montrer la proposition .

Démonstration: Application immédiate des définitions.

Définition On dit que la famille d'applications est séparante si et seulement si pour tout il existe tel que .

Proposition Si les sont séparantes et si les topologies sur les sont séparées, alors la topologie engendrée est séparée.

Ce lemme permettra de montrer qu'un produit d'espaces séparés est séparé, théorème .

Démonstration: Supposons que et soient distincts; alors puisque la famille d'applications est séparante il existe telle que ; et puisque est séparé, il existe un ouvert contenant et un ouvert contenant tels que et sont disjoints. Les ensembles et sont ouverts, puisque est continue (par définition de la topologie engendrée!), et disjoints. Le résultat en découle.

Définition [Topologie faible et topologie faible *] On appelle topologie faible sur l'espace normé la topologie engendrée par l'ensemble des formes linéaires continues de dans . On appelle topologie faible * sur le dual de l'espace normé la topologie engendré par l'ensemble des applications qui à associent , étant donné .

Proposition La topologie forte définie en est plus fine que la topologie faible *.

Démonstration: En vertu du théorème , il suffit de voir que pour tout la fonction qui à associe est continue pour la norme, ce qui est facile à prouver (en se ramenant en zéro, une application linéaire étant continue si et seulement si elle est continue en zéro).

Proposition La topologie forte d'un espace vectoriel normé est plus fine que la topologie faible.

Démonstration: En vertu du théorème , il suffit de voir que toute dans est continue pour la norme, ce qui est évident.

Proposition La topologie forte sur le dual est plus fine que la topologie faible, elle même plus fine que la topologie faible *.

Démonstration: La première partie étant déjà montrée, il suffit de voir que la topologie faible est plus fine que la topologie faible *. Or ceci découle simplement du fait que si deux familles d'applications sont incluses l'une dans l'autre, alors les topologies engendrées sont plus fines l'une que l'autre.