Topologie produit

Définition [Topologie produit] On appelle topologie produit sur le produit des la topologie engendrée par les projections canoniques de sur .

Théorème Avec les projections canoniques, une application de dans est continue si et seulement si pour tout est continue.

Démonstration: Il suffit d'utiliser le théorème .

Théorème Un produit d'espaces topologiques non vides est séparé si et seulement si chacun des facteurs l'est.
Démonstration: Les sont séparantes, donc si chaque est séparé, est séparé, par la proposition .
Réciproquement, il suffit de considérer un élément du produit, grâce à l'axiome du choix; grâce à cet élément, on peut facilement construire une application de dans qui soit continue et injective; donc est séparé par le lemme .

Proposition La topologie sur avec métrique est la topologie associée à la métrique ; on pourrait aussi prendre la somme.

Démonstration: On rappelle simplement que les boules constituent une base d'ouverts dans un espace métrique

Cette proposition se généralise à un produit fini, et même à un produit dénombrable; la distance entre et est donnée par , avec la distance sur .

Proposition Sur un espace normé la somme (opération entre deux élément des l'espace) et la multiplication (d'un élément du corps par un élément de l'espace) sont continues.

Démonstration: L'addition est continue grâce à l'inégalité triangulaire. La multiplication est continue grâce à .

Proposition Soit et des espaces vectoriels normés . Soit multilinéaire de dans , alors est continue si et seulement si

Démonstration: Facile.
Contrairement au cas des applications linéaires, notons qu'une application multilinéaire continue n'est pas nécessairement lipschitzienne.