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Topologie produit

Définition [Topologie produit] On appelle topologie produit sur le produit des $ X_i$ la topologie engendrée par les projections canoniques de $ X$ sur $ X_i$.

Théorème Avec $ \pi_i$ les projections canoniques, une application $ f$ de $ Y$ dans $ X$ est continue si et seulement si pour tout $ i$ $ \pi_i \circ f$ est continue.

Démonstration: Il suffit d'utiliser le théorème [*]. $ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Un produit d'espaces topologiques non vides est séparé si et seulement si chacun des facteurs l'est.
Démonstration: Les $ \pi_i$ sont séparantes, donc si chaque $ X_i$ est séparé, $ X$ est séparé, par la proposition [*].
Réciproquement, il suffit de considérer un élément du produit, grâce à l'axiome du choix; grâce à cet élément, on peut facilement construire une application de $ X_i$ dans $ X$ qui soit continue et injective; donc $ X_i$ est séparé par le lemme [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition La topologie sur $ X_1 \times X_2$ avec $ X_i$ métrique est la topologie associée à la métrique $ d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=max(d(x_1,y_1),d(x_2,y_2))$; on pourrait aussi prendre la somme.

Démonstration: On rappelle simplement que les boules constituent une base d'ouverts dans un espace métrique$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! Cette proposition se généralise à un produit fini, et même à un produit dénombrable; la distance entre $ (x_1,x_2,...)$ et $ (y_1,y_2,...)$ est donnée par $ \sum_n \frac {min(1,d_n(x_n,y_n))}{2^n}$, avec $ d_n$ la distance sur $ X_n$.

Exercice 9   Le lemme précédent se généralise à un produit fini quelconque.

Proposition Sur un espace normé la somme (opération entre deux élément des l'espace) et la multiplication (d'un élément du corps par un élément de l'espace) sont continues.

Démonstration: L'addition est continue grâce à l'inégalité triangulaire. La multiplication est continue grâce à $ {\parallel}{\lambda}x {\parallel}= \vert{\lambda}\vert {\parallel}x {\parallel}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Soit $ E_1,..., E_n$ et $ F$ des espaces vectoriels normés . Soit $ f$ multilinéaire de $ E_1 \times ... \times E_n$ dans $ F$, alors $ f$ est continue si et seulement si $ \parallel \phi \parallel = sup \{ \parallel \phi(x_1,...,x_n) \parallel \vert \parallel x_1 \parallel \leq 1, ... ,\parallel x_n \parallel \leq 1\} < + \infty$

Démonstration: Facile.$ \sqcap$$ \sqcup$
Contrairement au cas des applications linéaires, notons qu'une application multilinéaire continue n'est pas nécessairement lipschitzienne.

Exercice 10   Une application multilinéaire continue entre un produit d'espaces vectoriels normés et un espace vectoriel normé est lipschitzienne sur chaque sous-ensemble borné.

Démonstration: Facile.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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