Définition [Topologie produit]
On appelle topologie produit sur le produit des la topologie engendrée par les projections canoniques de sur .
Théorème
Avec les projections canoniques, une application de dans est continue si et seulement si pour tout est continue.
Démonstration:Il suffit d'utiliser le théorème .
Théorème
Un produit d'espaces topologiques non vides est séparé si et seulement si chacun des facteurs l'est.
Démonstration:Les sont séparantes, donc si chaque est séparé, est séparé, par la proposition .
Réciproquement, il suffit de considérer un élément du produit, grâce à l'axiome du choix; grâce à cet élément, on peut facilement construire une application de dans qui soit continue et injective; donc est séparé par le lemme .
Proposition
La topologie sur
avec métrique est la topologie associée à la métrique; on pourrait aussi prendre la somme.
Démonstration:On rappelle simplement que les boules constituent une base d'ouverts dans un espace métrique
Cette proposition se généralise à un produit fini, et même à un produit dénombrable; la distance entre
et
est donnée par
, avec la
distance sur .
Exercice 9
Le lemme précédent se généralise à un produit fini quelconque.
Proposition
Sur un espace normé la somme (opération entre deux élément des l'espace) et la multiplication (d'un élément du corps par un élément de l'espace) sont continues.
Démonstration:L'addition est continue grâce à l'inégalité triangulaire. La multiplication est continue grâce à
.
Proposition
Soit
et des espaces vectoriels normés .
Soit multilinéaire de
dans , alors est continue si et seulement si
Démonstration:Facile.
Contrairement au cas des applications linéaires, notons qu'une application
multilinéaire continue n'est pas nécessairement lipschitzienne.
Exercice 10
Une application multilinéaire continue entre un produit d'espaces vectoriels normés et un espace vectoriel normé est lipschitzienne sur chaque sous-ensemble borné.