Définition [Recouvrement ouvert]
Un recouvrement ouvert de l'espace topologique est une famille d'ouverts avec
.
Définition [Compact] est compact s'il est séparé et si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Un sous-ensemble de l'espace est dit compact s'il est compact pour la topologie induite.
Une partie de est dite relativement compacte si sa fermeture est compacte.
On verra plus tard (voir lemme ) que tout compact d'un espace séparé est fermé, et que tout compact d'un métrique est borné (s'il n'était pas borné on extrairait une sous-suite convergente d'une suite non bornée, par le théorème ).
Un compact, dans le cas général, n'est absolument pas nécessairement fermé! Considérer par exemple un point, dans un ensemble contenant au moins deux points et dont la topologie est réduite à
.
Définition
Un espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un recouvrement fini.
Un espace est donc compact s'il est séparé et s'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue.
La compacité: éclaircissements, utilisation.
On verra d'autres caractérisations de la compacité que la définition par "séparé+Borel-Lebesgue". Néanmoins cette définition servira par exemple pour le théorème (résultats de régularité sous le signe somme). Elle permettra aussi, en partie , de montrer que la compactifié d'Alexandrov est compact. Les deux premiers points de l'exercice , la proposition (l'image continue d'un compact dans un séparé est compact), le théorème de séparation des compacts, le théorème (semblable au théorème de Heine dans le cas de familles équicontinues), le résultat selon lequel tout métrique compact est homéomorphe à une partie du cube de Hilbert en partie , le théorème de Stone , le corollaire du champ rentrant dans la sphère , le théorème d'Ascoli utilisent cette même caractérisation.
Les méthodes usuelles pour montrer la compacité d'un ensemble sont le fait qu'un sous-ensemble fermé d'un compact est compact, le fait qu'un produit (quelconque) de compacts est compact (voir le théorème de Tykhonov1.4, le théorème d'Arzéla-Ascoli (aux multiples applications), et le fait que l'image continue d'un compact dans un séparé est compacte (par exemple, dans le cas des espaces projectifs).
Des théorèmes incontournables en matière de compacité sont le théorème de Banach-Alaoglu (utilisant Tykhonov), le théorème de Heine; le théorème de Baire (sous une forme moins connue que la forme classique basée sur la complétude) s'applique aux espaces localement compacts. Citons aussi le théorème de Riesz, le théorème de Krein-Milman (soit un espace vectoriel normé de dimension finie, un compact convexe de non vide, alors est l'enveloppe convexe de ses points extrémaux: on trouvera une preuve dans [13]), le théorème de Montel .
La compacité dans le cas métrique offre des résultats fondamentaux:
théorème de Bolzano-Weierstrass
un espace métrique compact est séparable
une isométrie d'un espace métrique compact dans lui-même est une isométrie1.5
un espace métrique compact est complet (voir corollaire )1.6
Théorème Un espace métrique précompact1.7 et complet est compact.
Démonstration:
On a déjà vu qu'un espace compact métrique est complet (corollaire un peu plus haut). Il est clair qu'il est aussi précompact. C'est donc la réciproque qui pose problème.
Supposons donc précompact et complet. Pour montrer sa compacité, nous allons utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass. Considérons donc une suite de . Nous allons en chercher une sous-suite convergeante.
Il existe, par définition, pour entier ,
tels que les boules centrées
sur les et de rayon
recouvrent . Construisons par récurrence sur tel qu'une infinité de points soit dans l'intersection des boule de rayon
centrée sur pour . On choisit alors
, construit aussi par récurrence, tel que la suite des soit croissante, et soit dans l'intersection des boule de rayon
centrée sur pour .
Ceci définit une suite extraite de la suite des , dont on montre facilement qu'elle est de Cauchy. Elle converge donc, par complétude de . Donc, est compact.
Une belle application est la proposition .
Un ensemble discret1.8 dans un compact est fini; on en déduit en particulier qu'une fonction holomorphe non nulle a un nombre fini de zéros dans un compact convexe.
Enfin il est capital que l'image d'un compact par une application continue à valeurs dans un espace séparé est compacte (voir théorème ). Cela entraine en particulier qu'une fonction continue sur un intervalle fermé de
atteint ses bornes (d'où le théorème de Darboux , le théorème de Rolle , et certains critères de recherche de minima - voir partie ).
Dans les ouvrages en anglais, "compact space" est simplement un espace vérifiant la propriété de Borel-Lebesgue. L'équivalent de notre espace compact est "compact Hausdorff space".
Toute partie finie d'un espace séparé est compacte.
Tout intervalle fermé borné de
est compact.
Soit
une suite d'éléments d'un espace topologique séparé tendant vers une limite .
Alors
est un compact (preuve facile, en considérant un recouvrement par des ouverts, puis en considérant un des ouverts contenant , et en voyant qu'un nombre fini des éléments de la suite est en dehors de cet ouvert.
,
sont des compacts (en tant que fermés bornés de
, qui est de dimension finie).
Les espaces projectifs sont compacts (voir ).
Le cube de Hilbert (voir ) est compact.
Le compactifié d'Alexandrov d'un espace séparé non compact localement compact est compact (voir )
Démonstration:La première assertion est triviale. Pour la deuxième, on
se donne un recouvrement ouvert on
considère le plus grand tel que peut être recouvert
par un recouvrement fini extrait de . La suite est facile ou comporte une référence vers une preuve complète.
Proposition
Si est une application continue d'un espace compact dans un espace séparé, alors est compact.
Démonstration: est évidemment séparé. Etant donné un recouvrement ouvert de on peut considérer le recouvrement ouvert de constitué des images réciproques de ces ouverts; on en extrait un recouvrement fini, et il n'y a plus qu'à repasser dans .
Cette propriété servira notamment pour le théorème de Rolle , ou pour montrer qu'un espace projectif est compact (théorème ). Elle permettra aussi de montrer que tout compact métrique est isomorphe à un sous-espace topologique du cube de Hilbert (voir partie ). Enfin, elle permet de montrer que toute isométrie d'un métrique compact sur lui-même est une bijection (corollaire ).
Il faut noter qu'une propriété plus fine sera parfois utile:
Proposition
Soit une application semi-continue supérieurement d'un compact dans
. Alors est majorée et atteint sa borne sup.
Cela servira notamment pour le théorème .
Démonstration:
Soit un compact, et semi-continue supérieurement de dans
. Soit la
borne sup de pour dans (à priori peut être égal à ).
Soit
croissante tendant vers avec élément de l'image de pour tout . Supposons que la borne sup ne soit pas atteinte (soit elle est infinie, soit tend vers sans jamais l'atteindre).
On a alors
. On peut extraire de ce recouvrement de
un recouvrement fini (en fait, un recouvrement par un seul des
puisque ces ensembles sont croissants); donc est bien majorée.
est alors égal à
pour un certain , ce qui contredit
le fait que croisse vers sans jamais l'atteindre - en effet implique qu'il
existe dans tel que .
Définition [Propriété d'intersection finie non vide]
Une famille de parties de a la propriété d'intersection finie non vide si et seulement si tout sous-ensemble fini de a une intersection non vide.
Proposition Un espace topologique est compact s'il est séparé et si toute famille de fermés qui a la propriété d'intersection finie non vide a une intersection non vide.
Démonstration:Il suffit de considérer les complémentaires des fermés, qui ont le bon goût d'être ouverts.
Outre les corollaires qui suivent, on pourra voir la proposition , ou le lemme .
Corollaire
Un fermé d'un compact est compact.
Voir (par exemple...) .
Démonstration:Un fermé d'un compact est évidemment séparé; il suffit ensuite de voir qu'un fermé de notre fermé est un fermé de notre espace et d'utiliser la proposition précédente.
Théorème
Deux compacts disjoints d'un espace séparé peuvent être séparés par des ouverts.
Démonstration:On montre tout d'abord le lemme suivant:
Lemme
Si est séparé, et compact inclus dans , alors est fermé.
Cela servira à chaque fois qu'on voudra montrer que compact équivaut à fermé borné dans un espace donné, par exemple .
Démonstration:
On considère dans le complémentaire de ; pour tout appartenant à on peut séparer et par des ouverts et . On peut alors considérer le recouvrement de par les ouverts et en extraire un recouvrement fini. En prenant l'intersection des correspondants à notre recouvrement fini, on a un ouvert autour de , n'intersectant pas . Donc le complémentaire de est ouvert, donc est fermé.
On peut donc terminer la preuve de notre théorème, en considérant un deuxième compact , et pour tout de , on peut trouver un ouvert
autour de et un ouvert contenant ; on applique la compacité de , et on obtient facilement deux ouverts disjoints séparant de .
Corollaire
Dans un espace compact, les sous-ensembles fermés sont les sous-ensembles compacts.
Démonstration:Il suffit de considérer le corollaire et le lemme .
Corollaire
Tout point d'un compact possède une base de voisinage compacts.
Démonstration:(voir figure ) Soit un voisinage ouvert de dans l'espace compact . Le fermé
est compact. On peut donc séparer les compacts et
par deux ouverts et . Alors
; et donc
est un voisinage compact de inclus dans .
Figure:
Construction d'une base de voisinages compacts dans un compact.
Corollaire
Une fonction continue bijective d'un compact dans un espace séparé est un homéomorphisme.
On peut citer en applications les résultats et (propriétés du cube de Hilbert et du Cantor triadique).
Démonstration:Il suffit de voir que l'image d'un fermé (donc compact) est compacte dans l'espace image, et donc elle est aussi fermée. Donc l'image réciproque de tout fermé par la fonction inverse est un fermé.
On peut utiliser ce résultat pour montrer que tout compact métrique est homéomorphe à une partie du cube de Hilbert, partie .
Théorème
Les compacts de
sont les fermés bornés.
Démonstration:Il suffit de considérer un interval fermé borné autour d'une partie bornée pour montrer facilement ce résultat à partir des résultats précédents et de .
Corollaire
Etant donnée une fonction continue d'un compact dans
, ses bornes supérieures et inférieures sont atteintes.
Ce résultat sert dans la vie de tous les jours, mais on peut par exemple citer le joli théorème , le theorème de Rolle , la recherche de points extrémaux sur un compact (voir ). Citons aussi le résultat sur les billards strictement convexes du plan. Enfin, il servira pour le théorème (point fixe commun à un sous-groupe compact d'automorphismes d'un espace de Hilbert).
Démonstration:Trivial au vu du résultat précédent et de la proposition .
Proposition
Toute suite à valeurs dans un compact admet une valeur d'adhérence.
Démonstration:La suite des
a la propriété d'intersection finie non vide; il ne reste plus qu'à appliquer la proposition .
Définition [Localement compact]
Un espace topologique est localement compact s'il est séparé et si tout point possède un voisinage compact.
Proposition
Tout point d'un espace localement compact possède une base de voisinages compacts.
Démonstration:Si
avec compact, alors possède une base de voisinages compacts dans muni de la topologie induite (par ). Comme
, cette base de voisinages est aussi une base de voisinages de dans .
Le théorème de Tykhonov, conjoint au fait qu'un fermé d'un compact est compact, implique d'ailleurs que la sphère unité de
est compacte, et donc notamment l'équivalence des normes en dimension finie - voir théorème
On en déduit notamment que le théorème du point fixe s'applique dans un compact métrique et donc que la boule unité fermée
n'est pas compacte; en cas contraire, l'application
avec
si et
serait bijective car une isométrie d'un espace complet compact sur lui-même est une bijection comme dit ci-dessus.