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Généralités

Définition [Recouvrement ouvert] Un recouvrement ouvert de l'espace topologique $ X$ est une famille d'ouverts $ U_i$ avec $ X=\cup U_i$.

Définition [Compact] $ X$ est compact s'il est séparé et si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Un sous-ensemble $ K$ de l'espace $ X$ est dit compact s'il est compact pour la topologie induite.

Une partie $ A$ de $ X$ est dite relativement compacte si sa fermeture $ \overline A$ est compacte.


On verra plus tard (voir lemme [*]) que tout compact d'un espace séparé est fermé, et que tout compact d'un métrique est borné (s'il n'était pas borné on extrairait une sous-suite convergente d'une suite non bornée, par le théorème [*]).

Attention! Un compact, dans le cas général, n'est absolument pas nécessairement fermé! Considérer par exemple un point, dans un ensemble $ X$ contenant au moins deux points et dont la topologie est réduite à $ \{\emptyset,X\}$.

Définition Un espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un recouvrement fini.

Un espace est donc compact s'il est séparé et s'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue.

Pour y voir plus clair Application(s)... La compacité: éclaircissements, utilisation.

On verra d'autres caractérisations de la compacité que la définition par "séparé+Borel-Lebesgue". Néanmoins cette définition servira par exemple pour le théorème [*] (résultats de régularité sous le signe somme). Elle permettra aussi, en partie [*], de montrer que la compactifié d'Alexandrov est compact. Les deux premiers points de l'exercice [*], la proposition [*] (l'image continue d'un compact dans un séparé est compact), le théorème [*] de séparation des compacts, le théorème [*] (semblable au théorème de Heine dans le cas de familles équicontinues), le résultat selon lequel tout métrique compact est homéomorphe à une partie du cube de Hilbert en partie [*], le théorème de Stone [*], le corollaire du champ rentrant dans la sphère [*], le théorème d'Ascoli [*] utilisent cette même caractérisation.

Les méthodes usuelles pour montrer la compacité d'un ensemble sont le fait qu'un sous-ensemble fermé d'un compact est compact, le fait qu'un produit (quelconque) de compacts est compact (voir le théorème de Tykhonov [*]1.4, le théorème d'Arzéla-Ascoli [*] (aux multiples applications), et le fait que l'image continue d'un compact dans un séparé est compacte (par exemple, dans le cas des espaces projectifs).

Des théorèmes incontournables en matière de compacité sont le théorème de Banach-Alaoglu [*] (utilisant Tykhonov), le théorème de Heine [*]; le théorème de Baire (sous une forme moins connue que la forme classique basée sur la complétude) [*] s'applique aux espaces localement compacts. Citons aussi le théorème de Riesz [*], le théorème de Krein-Milman (soit $ E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $ K$ un compact convexe de $ E$ non vide, alors $ K$ est l'enveloppe convexe de ses points extrémaux: on trouvera une preuve dans [13]), le théorème de Montel [*].

La compacité dans le cas métrique offre des résultats fondamentaux:

$ \bullet $théorème de Bolzano-Weierstrass [*]

$ \bullet $un espace métrique compact est séparable

$ \bullet $une isométrie d'un espace métrique compact dans lui-même est une isométrie1.5

$ \bullet $un espace métrique compact est complet (voir corollaire [*])1.6

$ \bullet $

Théorème Un espace métrique précompact1.7 et complet est compact.

Démonstration: On a déjà vu qu'un espace compact métrique est complet (corollaire un peu plus haut). Il est clair qu'il est aussi précompact. C'est donc la réciproque qui pose problème.

Supposons donc $ E$ précompact et complet. Pour montrer sa compacité, nous allons utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass [*]. Considérons donc une suite $ (x_n)$ de $ E$. Nous allons en chercher une sous-suite convergeante.

Il existe, par définition, pour $ i$ entier $ \geq 1$, $ y_{i,1},y_{i,2},...,y_{i,N_i}$ tels que les boules centrées sur les $ y_{i,j}$ et de rayon $ \frac{1}{2^j}$ recouvrent $ E$. Construisons par récurrence sur $ i$ $ 1\leq j_i \leq N_i$ tel qu'une infinité de points $ x_n$ soit dans l'intersection des boule de rayon $ \frac 1 {2^l}$ centrée sur $ x_{l,j_l}$ pour $ l\geq i$. On choisit alors $ a_i\in \mathbb{N}$, construit aussi par récurrence, tel que la suite des $ a_i$ soit croissante, et $ x_{a_i}$ soit dans l'intersection des boule de rayon $ \frac 1 {2^l}$ centrée sur $ x_{l,j_l}$ pour $ l\geq i$.

Ceci définit une suite extraite de la suite des $ x_n$, dont on montre facilement qu'elle est de Cauchy. Elle converge donc, par complétude de $ E$. Donc, $ E$ est compact.

Application(s)... Une belle application est la proposition [*]. $ \sqcap$$ \sqcup$

Un ensemble discret1.8 dans un compact est fini; on en déduit en particulier qu'une fonction holomorphe non nulle a un nombre fini de zéros dans un compact convexe.

Enfin il est capital que l'image d'un compact par une application continue à valeurs dans un espace séparé est compacte (voir théorème [*]). Cela entraine en particulier qu'une fonction continue sur un intervalle fermé de $ \mathbb{R}$ atteint ses bornes (d'où le théorème de Darboux [*], le théorème de Rolle [*], et certains critères de recherche de minima - voir partie [*]).

Dans les ouvrages en anglais, "compact space" est simplement un espace vérifiant la propriété de Borel-Lebesgue. L'équivalent de notre espace compact est "compact Hausdorff space".

Exercice 11  

$ \bullet $Toute partie finie d'un espace séparé est compacte.

$ \bullet $Tout intervalle fermé borné $ [a,b]$ de $ \mathbb{R}$ est compact.

$ \bullet $Soit $ (x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments d'un espace topologique $ X$ séparé tendant vers une limite $ x$. Alors $ \{ x_n / n \in \mathbb{N}\} \cup \{ x \}$ est un compact (preuve facile, en considérant un recouvrement par des ouverts, puis en considérant un des ouverts contenant $ x$, et en voyant qu'un nombre fini des éléments de la suite est en dehors de cet ouvert.

$ \bullet $ $ O_n(\mathbb{R})$, $ SO_n(\mathbb{R})$ sont des compacts (en tant que fermés bornés de $ \mathbb{R}^n$, qui est de dimension finie).

$ \bullet $Les espaces projectifs sont compacts (voir [*]).

$ \bullet $Le cube de Hilbert (voir [*]) est compact.

$ \bullet $Le compactifié d'Alexandrov d'un espace séparé non compact localement compact est compact (voir [*])

Démonstration: La première assertion est triviale. Pour la deuxième, on se donne un recouvrement ouvert $ {\cal U}$ on considère le plus grand $ x$ tel que $ [a,x]$ peut être recouvert par un recouvrement fini extrait de $ {\cal U}$. La suite est facile ou comporte une référence vers une preuve complète.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Si $ f$ est une application continue d'un espace compact $ K$ dans un espace séparé $ Y$, alors $ f(K)$ est compact.

Démonstration: $ f(K)$ est évidemment séparé. Etant donné un recouvrement ouvert de $ f(K)$ on peut considérer le recouvrement ouvert de $ K$ constitué des images réciproques de ces ouverts; on en extrait un recouvrement fini, et il n'y a plus qu'à repasser dans $ Y$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... Cette propriété servira notamment pour le théorème de Rolle [*], ou pour montrer qu'un espace projectif est compact (théorème [*]). Elle permettra aussi de montrer que tout compact métrique est isomorphe à un sous-espace topologique du cube de Hilbert (voir partie [*]). Enfin, elle permet de montrer que toute isométrie d'un métrique compact sur lui-même est une bijection (corollaire [*]).

Il faut noter qu'une propriété plus fine sera parfois utile:

Proposition Soit $ f$ une application semi-continue supérieurement d'un compact dans $ \mathbb{R}$. Alors $ f$ est majorée et atteint sa borne sup.

Application(s)... Cela servira notamment pour le théorème [*].

Démonstration:

$ \bullet $Soit $ K$ un compact, et $ f$ semi-continue supérieurement de $ K$ dans $ \mathbb{R}$. Soit $ x$ la borne sup de $ f(t)$ pour $ t$ dans $ K$ (à priori $ x$ peut être égal à $ +\infty$).

$ \bullet $Soit $ (x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ croissante tendant vers $ x$ avec $ x_n$ élément de l'image de $ f$ pour tout $ n$. Supposons que la borne sup ne soit pas atteinte (soit elle est infinie, soit $ x_n$ tend vers $ x$ sans jamais l'atteindre).

$ \bullet $On a alors $ K=\cup_{n\in N} f^{-1}(]-\infty,x_n[)$. On peut extraire de ce recouvrement de $ K$ un recouvrement fini (en fait, un recouvrement par un seul des $ f^{-1}(-\infty,x_n[$ puisque ces ensembles sont croissants); donc $ f$ est bien majorée.

$ \bullet $$ K$ est alors égal à $ f^{-1}(]-\infty,x_n[)$ pour un certain $ n$, ce qui contredit le fait que $ x_n$ croisse vers $ x$ sans jamais l'atteindre - en effet $ x_n<x$ implique qu'il existe $ t$ dans $ K$ tel que $ f(t)>x_n$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Propriété d'intersection finie non vide] Une famille $ {\cal A}$ de parties de $ X$ a la propriété d'intersection finie non vide si et seulement si tout sous-ensemble fini de $ {\cal A}$ a une intersection non vide.

Proposition Un espace topologique est compact s'il est séparé et si toute famille de fermés qui a la propriété d'intersection finie non vide a une intersection non vide.

Démonstration: Il suffit de considérer les complémentaires des fermés, qui ont le bon goût d'être ouverts.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... Outre les corollaires qui suivent, on pourra voir la proposition [*], ou le lemme [*].

Corollaire Un fermé d'un compact est compact.

Application(s)... Voir (par exemple...) [*].

Démonstration: Un fermé d'un compact est évidemment séparé; il suffit ensuite de voir qu'un fermé de notre fermé est un fermé de notre espace et d'utiliser la proposition précédente.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème

Deux compacts disjoints d'un espace séparé peuvent être séparés par des ouverts.

Démonstration: On montre tout d'abord le lemme suivant:

Lemme Si $ X$ est séparé, et $ K$ compact inclus dans $ X$, alors $ K$ est fermé.

Application(s)... Cela servira à chaque fois qu'on voudra montrer que compact équivaut à fermé borné dans un espace donné, par exemple [*].

Démonstration: On considère $ x$ dans le complémentaire de $ K$; pour tout $ y$ appartenant à $ K$ on peut séparer $ x$ et $ y$ par des ouverts $ U_y$ et $ V_y$. On peut alors considérer le recouvrement de $ K$ par les ouverts $ V_y$ et en extraire un recouvrement fini. En prenant l'intersection des $ U_y$ correspondants à notre recouvrement fini, on a un ouvert autour de $ x$, n'intersectant pas $ K$. Donc le complémentaire de $ K$ est ouvert, donc $ K$ est fermé.$ \sqcap$$ \sqcup$

On peut donc terminer la preuve de notre théorème, en considérant un deuxième compact $ K'$, et pour tout $ x$ de $ K'$, on peut trouver un ouvert $ U_y$ autour de $ x$ et un ouvert $ V_x$ contenant $ K$; on applique la compacité de $ K'$, et on obtient facilement deux ouverts disjoints séparant $ K'$ de $ K$.

Corollaire Dans un espace compact, les sous-ensembles fermés sont les sous-ensembles compacts.

Démonstration: Il suffit de considérer le corollaire [*] et le lemme [*].

Corollaire Tout point d'un compact possède une base de voisinage compacts.

Démonstration: (voir figure [*]) Soit $ W$ un voisinage ouvert de $ x$ dans l'espace compact $ X$. Le fermé $ X\setminus W$ est compact. On peut donc séparer les compacts $ \{x\}$ et $ X\setminus W$ par deux ouverts $ U$ et $ V$. Alors $ X\in U \subset X \setminus V \subset W$; et donc $ X \setminus V$ est un voisinage compact de $ x$ inclus dans $ W$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Figure: Construction d'une base de voisinages compacts dans un compact.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =7cm
\epsfbox{voicom.eps}\end{displaymath}\end{figure}

Corollaire Une fonction continue bijective d'un compact dans un espace séparé est un homéomorphisme.

Application(s)... On peut citer en applications les résultats [*] et [*] (propriétés du cube de Hilbert et du Cantor triadique).

Démonstration: Il suffit de voir que l'image d'un fermé (donc compact) est compacte dans l'espace image, et donc elle est aussi fermée. Donc l'image réciproque de tout fermé par la fonction inverse est un fermé.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... On peut utiliser ce résultat pour montrer que tout compact métrique est homéomorphe à une partie du cube de Hilbert, partie [*].

Théorème Les compacts de $ \mathbb{R}$ sont les fermés bornés.
Démonstration: Il suffit de considérer un interval fermé borné autour d'une partie bornée pour montrer facilement ce résultat à partir des résultats précédents et de [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Etant donnée une fonction continue d'un compact dans $ \mathbb{R}$, ses bornes supérieures et inférieures sont atteintes.

Application(s)... Ce résultat sert dans la vie de tous les jours, mais on peut par exemple citer le joli théorème [*], le theorème de Rolle [*], la recherche de points extrémaux sur un compact (voir [*]). Citons aussi le résultat [*] sur les billards strictement convexes du plan. Enfin, il servira pour le théorème [*] (point fixe commun à un sous-groupe compact d'automorphismes d'un espace de Hilbert).

Démonstration: Trivial au vu du résultat précédent et de la proposition [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Toute suite à valeurs dans un compact admet une valeur d'adhérence.

Démonstration: La suite des $ \overline {\{x_m/m\geq n\}}$ a la propriété d'intersection finie non vide; il ne reste plus qu'à appliquer la proposition [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Localement compact] Un espace topologique est localement compact s'il est séparé et si tout point possède un voisinage compact.

Proposition Tout point d'un espace localement compact possède une base de voisinages compacts.

Démonstration: Si $ x \in Int(K)$ avec $ K$ compact, alors $ x$ possède une base de voisinages compacts dans $ K$ muni de la topologie induite (par [*]). Comme $ x \in Int(K)$, cette base de voisinages est aussi une base de voisinages de $ x$ dans $ X$.$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

...tykhonov1.4
Le théorème de Tykhonov, conjoint au fait qu'un fermé d'un compact est compact, implique d'ailleurs que la sphère unité de $ \mathbb{R}^n$ est compacte, et donc notamment l'équivalence des normes en dimension finie - voir théorème [*]
... isométrie1.5
On en trouvera une preuve en application de Bolzano-Weierstrass.
...conne)1.6
On en déduit notamment que le théorème du point fixe [*] s'applique dans un compact métrique et donc que la boule unité fermée $ l^2(\mathbb{N})$ n'est pas compacte; en cas contraire, l'application $ (x_n)_{n \geq 0} \mapsto (y_n)_{n\geq 0}$ avec $ y_i=x_{i-1}$ si $ i>0$ et $ y_0=0$ serait bijective car une isométrie d'un espace complet compact sur lui-même est une bijection comme dit ci-dessus.
...precompacite@précompacité1.7
Un espace métrique $ E$ est dit précompact si quel que soit $ \epsilon >0$ il existe un recouvrement fini de $ E$ par des boules de rayon $ <\epsilon $.
... discret1.8
I.e. tout point est isolé.

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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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