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Définition [Recouvrement ouvert] Un recouvrement ouvert de l'espace topologique

est une famille d'ouverts

avec $X=\cup U_i$ .

Définition [Compact]

est compact s'il est séparé

et si de tout recouvrement ouvert

on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Un sous-ensemble

de l'espace

est dit compact s'il est compact pour la topologie induite

Une partie

est dite relativement compacte si sa fermeture

$\overline A$ est compacte.

On verra plus tard (voir lemme

)

que tout compact d'un espace séparé est fermé, et que tout compact d'un métrique est borné (s'il n'était pas borné on extrairait une sous-suite convergente d'une suite non bornée, par le théorème

Un compact, dans le cas général, n'est absolument pas nécessairement fermé! Considérer par exemple un point, dans un ensemble

contenant au moins deux points et dont la topologie est réduite à $\{\emptyset,X\}$ .

Définition Un espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement ouvert

on peut extraire un recouvrement fini.

Un espace est donc compact s'il est séparé et s'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue.

On verra d'autres caractérisations de la compacité que la définition par "séparé+Borel-Lebesgue". Néanmoins cette définition servira par exemple pour le théorème

(résultats de régularité sous le signe somme). Elle permettra aussi, en partie

, de montrer que la compactifié d'Alexandrov est compact. Les deux premiers points de l'exercice

, la proposition

(l'image continue d'un compact dans un séparé est compact), le théorème

de séparation des compacts, le théorème

(semblable au théorème de Heine dans le cas de familles équicontinues), le résultat selon lequel tout métrique compact est homéomorphe à une partie du cube de Hilbert

en partie

, le théorème de Stone

, le corollaire du champ rentrant dans la sphère

, le théorème d'Ascoli

utilisent cette même caractérisation.

Les méthodes usuelles pour montrer la compacité d'un ensemble sont le fait qu'un sous-ensemble fermé d'un compact est compact, le fait qu'un produit (quelconque) de compacts est compact (voir le théorème de Tykhonov

^1.4, le théorème d'Arzéla-Ascoli

(aux multiples applications), et le fait que l'image continue d'un compact dans un séparé est compacte (par exemple, dans le cas des espaces projectifs).

Des théorèmes incontournables en matière de compacité sont le théorème de Banach-Alaoglu

(utilisant Tykhonov), le théorème de Heine

; le théorème de Baire (sous une forme moins connue que la forme classique basée sur la complétude)

s'applique aux espaces localement compacts. Citons aussi le théorème de Riesz

, le théorème de Krein-Milman (soit

un espace vectoriel normé de dimension finie,

un compact convexe de

non vide, alors

est l'enveloppe convexe de ses points extrémaux: on trouvera une preuve dans [13]), le théorème de Montel

$\bullet$ une isométrie d'un espace métrique compact dans lui-même est une isométrie^1.5

Démonstration: On a déjà vu qu'un espace compact métrique est complet (corollaire un peu plus haut). Il est clair qu'il est aussi précompact. C'est donc la réciproque qui pose problème.

Supposons donc

précompact et complet. Pour montrer sa compacité, nous allons utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass

. Considérons donc une suite

. Nous allons en chercher une sous-suite convergeante.

Il existe, par définition, pour

entier $\geq 1$ , $y_{i,1},y_{i,2},...,y_{i,N_i}$ tels que les boules centrées sur les $y_{i,j}$ et de rayon $\frac{1}{2^j}$ recouvrent

. Construisons par récurrence sur

$1\leq j_i \leq N_i$ tel qu'une infinité de points

soit dans l'intersection des boule de rayon $\frac 1 {2^l}$ centrée sur $x_{l,j_l}$ pour $l\geq i$ . On choisit alors $a_i\in \mathbb{N}$ , construit aussi par récurrence, tel que la suite des

soit croissante, et $x_{a_i}$ soit dans l'intersection des boule de rayon $\frac 1 {2^l}$ centrée sur $x_{l,j_l}$ pour $l\geq i$ .

Ceci définit une suite extraite de la suite des

, dont on montre facilement qu'elle est de Cauchy

. Elle converge donc, par complétude de

. Donc,

est compact.

Un ensemble discret^1.8 dans un compact est fini; on en déduit en particulier qu'une fonction holomorphe non nulle a un nombre fini de zéros dans un compact convexe.

Enfin il est capital que l'image d'un compact par une application continue à valeurs dans un espace séparé est compacte

(voir théorème

). Cela entraine en particulier qu'une fonction continue sur un intervalle fermé de $\mathbb{R}$ atteint ses bornes (d'où le théorème de Darboux

, le théorème de Rolle

, et certains critères de recherche de minima - voir partie

Dans les ouvrages en anglais, "compact space" est simplement un espace vérifiant la propriété de Borel-Lebesgue

. L'équivalent de notre espace compact est "compact Hausdorff space".

Exercice 11

$\bullet$ Toute partie finie d'un espace séparé est compacte.

$\bullet$ Tout intervalle fermé borné de $\mathbb{R}$ est compact.

$\bullet$ Soit $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments d'un espace topologique séparé tendant vers une limite . Alors $\{ x_n / n \in \mathbb{N}\} \cup \{ x \}$ est un compact (preuve facile, en considérant un recouvrement par des ouverts, puis en considérant un des ouverts contenant , et en voyant qu'un nombre fini des éléments de la suite est en dehors de cet ouvert.

$\bullet$ $O_n(\mathbb{R})$ , $SO_n(\mathbb{R})$ sont des compacts (en tant que fermés bornés de $\mathbb{R}^n$ , qui est de dimension finie).

$\bullet$ Les espaces projectifs sont compacts (voir ).

$\bullet$ Le cube de Hilbert (voir ) est compact.

$\bullet$ Le compactifié d'Alexandrov d'un espace séparé non compact localement compact est compact (voir )

Démonstration: La première assertion est triviale. Pour la deuxième, on se donne un recouvrement ouvert ${\cal U}$ on considère le plus grand

tel que

peut être recouvert par un recouvrement fini extrait de ${\cal U}$ . La suite est facile ou comporte une référence vers une preuve complète. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Si

est une application continue

d'un espace compact

dans un espace séparé

, alors

est compact.

Démonstration:

est évidemment séparé. Etant donné un recouvrement ouvert de

on peut considérer le recouvrement ouvert de

constitué des images réciproques de ces ouverts; on en extrait un recouvrement fini, et il n'y a plus qu'à repasser dans

. $\sqcap$ $\sqcup$

Cette propriété servira notamment pour le théorème de Rolle

, ou pour montrer qu'un espace projectif est compact (théorème

). Elle permettra aussi de montrer que tout compact métrique est isomorphe à un sous-espace topologique du cube de Hilbert (voir partie

). Enfin, elle permet de montrer que toute isométrie d'un métrique compact sur lui-même est une bijection (corollaire

Proposition Soit

une application semi-continue supérieurement

d'un compact dans $\mathbb{R}$ . Alors

est majorée et atteint sa borne sup.

$\bullet$ Soit

un compact, et

semi-continue supérieurement de

dans $\mathbb{R}$ . Soit

la borne sup de

pour

dans

(à priori

peut être égal à $+\infty$ ).

$\bullet$ Soit $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ croissante tendant vers

avec

élément de l'image de

pour tout

. Supposons que la borne sup ne soit pas atteinte (soit elle est infinie, soit

tend vers

sans jamais l'atteindre).

$\bullet$ On a alors $K=\cup_{n\in N} f^{-1}(]-\infty,x_n[)$ . On peut extraire de ce recouvrement de

un recouvrement fini (en fait, un recouvrement par un seul des $f^{-1}(-\infty,x_n[$ puisque ces ensembles sont croissants); donc

est bien majorée.

$\bullet$

est alors égal à $f^{-1}(]-\infty,x_n[)$ pour un certain

, ce qui contredit le fait que

croisse vers

sans jamais l'atteindre - en effet

implique qu'il existe

dans

tel que

. $\sqcap$ $\sqcup$

Définition [Propriété d'intersection finie non vide] Une famille ${\cal A}$ de parties de

a la propriété d'intersection finie non vide si et seulement si tout sous-ensemble fini de ${\cal A}$ a une intersection non vide.

Proposition Un espace topologique est compact

s'il est séparé

et si toute famille de fermés qui a la propriété d'intersection finie non vide

a une intersection non vide.

Démonstration: Il suffit de considérer les complémentaires des fermés, qui ont le bon goût d'être ouverts. $\sqcap$ $\sqcup$

Outre les corollaires qui suivent, on pourra voir la proposition

, ou le lemme

Démonstration: Un fermé d'un compact est évidemment séparé

; il suffit ensuite de voir qu'un fermé de notre fermé est un fermé de notre espace et d'utiliser la proposition précédente. $\sqcap$ $\sqcup$

Deux compacts disjoints d'un espace séparé peuvent être séparés par des ouverts

Cela servira à chaque fois qu'on voudra montrer que compact équivaut à fermé borné dans un espace donné, par exemple

Démonstration: On considère

dans le complémentaire de

; pour tout

appartenant à

on peut séparer

par des ouverts

. On peut alors considérer le recouvrement de

par les ouverts

et en extraire un recouvrement fini. En prenant l'intersection des

correspondants à notre recouvrement fini, on a un ouvert autour de

, n'intersectant pas

. Donc le complémentaire de

est ouvert, donc

est fermé. $\sqcap$ $\sqcup$

On peut donc terminer la preuve de notre théorème, en considérant un deuxième compact

, et pour tout

, on peut trouver un ouvert

autour de

et un ouvert

contenant

; on applique la compacité de

, et on obtient facilement deux ouverts disjoints séparant

Corollaire Dans un espace compact, les sous-ensembles fermés sont les sous-ensembles compacts.

Démonstration: (voir figure

) Soit

un voisinage ouvert de

dans l'espace compact

. Le fermé $X\setminus W$ est compact

. On peut donc séparer les compacts $\{x\}$ et $X\setminus W$ par deux ouverts

. Alors $X\in U \subset X \setminus V \subset W$ ; et donc $X \setminus V$ est un voisinage compact de

inclus dans

. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Une fonction continue bijective d'un compact dans un espace séparé est un homéomorphisme

On peut citer en applications les résultats

(propriétés du cube de Hilbert et du Cantor triadique).

Démonstration: Il suffit de voir que l'image d'un fermé (donc compact)

est compacte

dans l'espace image, et donc elle est aussi fermée. Donc l'image réciproque de tout fermé par la fonction inverse est un fermé. $\sqcap$ $\sqcup$

On peut utiliser ce résultat pour montrer que tout compact métrique est homéomorphe à une partie du cube de Hilbert, partie

Théorème Les compacts de $\mathbb{R}$ sont les fermés bornés

.
Démonstration: Il suffit de considérer un interval fermé borné autour d'une partie bornée pour montrer facilement ce résultat à partir des résultats précédents

et de

. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Etant donnée une fonction continue d'un compact dans $\mathbb{R}$ , ses bornes supérieures et inférieures sont atteintes.

Ce résultat sert dans la vie de tous les jours, mais on peut par exemple citer le joli théorème

, le theorème de Rolle

, la recherche de points extrémaux sur un compact (voir

). Citons aussi le résultat

sur les billards strictement convexes du plan. Enfin, il servira pour le théorème

(point fixe commun à un sous-groupe compact d'automorphismes d'un espace de Hilbert).

Démonstration: Trivial au vu du résultat précédent et de la proposition

. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Toute suite à valeurs dans un compact admet une valeur d'adhérence

Démonstration: La suite des $\overline {\{x_m/m\geq n\}}$ a la propriété d'intersection finie non vide

; il ne reste plus qu'à appliquer la proposition

. $\sqcap$ $\sqcup$

Définition [Localement compact] Un espace topologique est localement compact s'il est séparé

et si tout point possède un voisinage

compact

Proposition Tout point d'un espace localement compact

possède une base de voisinages compacts

Démonstration: Si $x \in Int(K)$

avec

compact, alors

possède une base de voisinages compacts dans

muni de la topologie induite (par

). Comme $x \in Int(K)$ , cette base de voisinages est aussi une base de voisinages de

dans

. $\sqcap$ $\sqcup$

Généralités

Notes