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Le théorème de Tykhonov

Théorème [Théorème de Tykhonov] Soit $ X_i$ une famille d'espaces tous non vides. Le produit est compact si et seulement si chacun des facteurs l'est.

Démonstration: On a déjà montré que le produit est séparé si chacun des facteurs l'est (voir [*]). La compacité du produit $ X$ entraîne la compacité de chacun des facteurs comme on peut s'en rendre compte en considérant la projection canonique sur chacun des facteurs. Il reste donc à voir la réciproque, c'est à dire que $ X$ est compact, si chacun des facteurs l'est. On trouvera une démonstration dans Bourbaki, ou bien dans [13]. La démonstration utilise le lemme de Zorn [*].

Remarque Il est important de noter que l'on peut prouver Tykhonov dans le cas d'un produit dénombrable de compacts métriques $ (X_i,d_i)$ sans faire appel à l'axiome du choix. Cela se fait simplement en considérant:
$ \bullet $La métrique $ d'_i$ associée à la métrique $ d_i$, avec $ d_i'=min(d_i,1)$.
$ \bullet $La métrique sur le produit des compacts définie par $ D(x,y)=\sum \frac1{2^i}d_i'(x_i,y_i)$.
$ \bullet $La topologie de cette métrique est la topologie produit.
$ \bullet $Il ne reste plus qu'à utiliser la caractérisation des compacts métriques par les sous-suites (théorème de Bolzano-Weierstrass, théorème [*]).$ \sqcap$$ \sqcup$

Remarque Dans le cas d'un produit fini de compacts métriques, la preuve est évidente.

Corollaire Les compacts de $ \mathbb{R}^n$ sont les fermés bornés.

Démonstration: Etant donnée une partie bornée, on considère un produit d'intervalles fermés bornés dans lequel cette partie est incluse, et le résultat vient tout seul.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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