Application aux espaces vectoriels normés

Théorème Toutes les normes sur un - ou - espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes.

Démonstration: On considère une base, et la norme qui a un élément de associe la somme des valeurs absolue de ses composantes. On montre qu'une norme quelconque est équivalente à cette norme. Il suffit pour cela de noter que la sphère unité (pour notre norme) est compacte, par compacité de la même sphère dans et continuité des opérations algébriques, et de vérifier que toute norme est continue et donc atteint sur cette sphère un minimum et un maximum (NB: toute norme est continue car -lipschitzienne pour le max des normes d'images d'éléments d'une base orthonormale).

Corollaire Un sous-espace vectoriel (de dimension finie) d'un espace normé est fermé.

Une application se trouve juste après le théorème de Baire : un espace de Banach de dimension infinie ne possède pas de base dénombrable.

Démonstration: Nous avons tout d'abord besoin d'un lemme:
Lemme Un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel de dimension finie est fermé.

Démonstration: On considère la même norme que dans le théorème précédent. Pour cette norme notre espace est clairement fermé (au vu des équations le définissant). Plus précisément, on considère une base de notre espace vectoriel , telle que soit engendré par les premiers éléments de cette base (c'est possible grâce au théorème de la base incomplète). Alors est l'intersection d'hyperplans fermés d'équations .
On peut maintenant finir notre preuve; soit , avec de dimension finie; alors on se place dans l'espace généré par une base de plus le vecteur , et on utilise le lemme ci-dessus.

Théorème [Théorème de Riesz] Un espace normé est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.

On verra une application amusante avec le corollaire , une autre (utilisant aussi le théorème d'Arzéla-Ascoli et le théorème d'isomorphisme de Banach) avec le théorème .

Démonstration: Supposons de dimension finie, alors toutes les normes sont équivalentes, on peut se ramener à ; comme la boule unité est fermée bornée, elle est compacte. Réciproquement (voir figure ), supposons la boule unité fermée compacte, alors on peut la recouvrir par des boules ouvertes de diamètre en nombre fini. On considère alors l'espace engendré par les centres de ces boules, et on montre que l'on peut approcher tout point de la boule arbitrairement bien avec des points de ; ensuite on utilise le fait que est de dimension finie et donc est fermé.

Figure: Le théorème de Riesz. On approxime de la boule par le centre du cercle le plus proche, et on réitère avec le double de la distance entre et ce centre.

Théorème [Théorème de Banach-Alaoglu]Soit le dual d'un espace normé, alors sa boule unité fermée est compacte pour la topologie faible * (ie la topologie engendrée par les applications qui à associent pour un certain .

La boule unité fermée est l'ensemble des formes linéaires telles que .

Démonstration: (voir figure ) On identifie à une partie du produit , en identifiant à . La topologie faible * est alors la topologie induite sur par la topologie produit sur . La boule unité est contenue dans . Par le théorème de Tykhonov ce produit est compact. Il suffit donc maintenant de montrer que est fermé comme sous-ensemble de muni de la topologie produit, ce qui se fait aisément en considérant les équations définissant (qui sont simplement les équations définissant les fonctions linéaires).

Voir la proposition par exemple.

Figure: Schéma explicatif de la preuve du théorème de Banach-Alaoglu.

Proposition La boule unité fermée du dual d'un espace séparable est métrisable pour la topologie faible *.

Démonstration: On considère une suite dense dans , à valeurs non nulles; la topologie faible sur la boule unité fermée peut être définie par la métrique

Corollaire On peut en outre extraire de toute suite de la boule unité fermée du dual d'un espace séparable une suite convergeant faiblement.

Démonstration: Laissée au lecteur...