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Espaces métriques compacts

Théorème Un espace métrique compact est séparable. Il possède donc une base dénombrable d'ouverts.

Démonstration: Soit $ X$ métrique compact. Pour tout $ n$ on peut trouver une suite finie de points telle que les boules centrées sur ces points et de rayon $ \frac1n$ recouvrent $ X$. La suite obtenue en mettant bout à bout toutes ces suites finies est dense dans $ X$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Un espace métrique compact est de cardinal inférieur ou égal à celui de $ \mathbb{R}$.

Démonstration: Un espace métrique compact est séparable; donc il admet une base dénombrable d'ouverts. En prenant un $ x_i$ dans chaque ouvert, on obtient donc que tout point est limite d'une suite de $ x_i$. Il suffit alors de voir que l'ensemble des suites d'un ensemble au plus dénombrable est de cardinal au plus la puissance du continu, ce qui se voit facilement, en considérant par exemple la fonction qui à un réel $ x \in [0,1]$ dont le développement binaire comporte une infinité de $ 1$ associe la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $ u_n$ est égal au nombre de 0 entre le $ n$-ième $ 1$ et le $ n+1$-ième $ 1$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Théorème de Heine] Une application continue d'un espace métrique compact vers un espace métrique est uniformément continue.

Application(s)... Ce théorème servira par exemple pour le théorème [*]. Il peut aussi servir à montrer qu'une application continue de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ tendant vers une limite finie en plus et moins l'infini est uniformément continue.

Démonstration: On considère, pour $ \epsilon >0$, pour chaque $ x \in X$, $ \alpha_x >0$ tel que $ d(x,y)<\alpha_x \rightarrow d(f(x),f(y))<\epsilon/2$. Par compacité, on peut recouvrir $ X$ par un nombre fini de boules de centre $ x$ et de rayon $ \alpha _x/2$. On prend alors $ \alpha =inf \alpha _i$, et le résultat vient tout seul...$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Théorème de Bolzano-Weierstrass] Un espace métrique est compact si et seulement si toute suite à valeurs dans $ X$ contient une sous-suite convergente.

Application(s)... Voir par exemple le théorème de Brouwer [*], le théorème de Tykhonov dans le cas d'un produit dénombrable d'espaces métriques (voir juste après le théorème [*]) sans utiliser l'axiome du choix. Le théorème est aussi utilisé dans le lemme [*], qui servira à démontrer le théorème de Runge. Le corollaire [*] est une autre application: toute isométrie d'un espace métrique compact dans lui-même est une bijection.

Démonstration: Si $ X$ est métrique compact, alors toute suite $ (x_n)$ a une valeur d'adhérence (considérer la suite décroissante de parties de $ X$ constituées des éléments $ X_n = \overline \{ x_k / k \geq n\}$; la suite des adhérences de ces parties a la propriété d'intersection finie), et $ X$ étant métrique, une sous-suite converge vers cette valeur d'adhérence.
Réciproquement, considérons tout d'abord les deux lemmes suivants:

Lemme [Lemme de Lebesgue] Soit $ (X,d)$ un espace métrique tel que toute suite contienne une sous-suite convergente. Si $ V_i$ est un recouvrement ouvert de $ X$, alors il existe $ \epsilon >0$ tel que pour tout $ x \in X$, il existe $ i$ tel que $ B(x,\epsilon) \subset V_i$.

Démonstration: Dans le cas contraire, on peut pour tout entier $ n$ trouver un $ x_n$ tel que la boule de centre $ x_n$ et de rayon $ 1/n$ ne soit contenue dans aucun $ V_i$. Alors on extrait de cette suite une sous-suite convergente. On obtient que pour $ n$ assez grand les boules en question seront incluses dans le $ V_i$ qui contient $ x$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire

Une isométrie d'un espace métrique compact sur lui-même est une bijection.

Démonstration: Supposons $ E$ un tel espace, et $ f$ une isométrie de $ E$ dans $ E$.

Supposons que $ x$ n'appartienne pas à l'image de $ f$. Alors, $ x$ est à distance $ >\epsilon >0$ de l'image de $ f$ (en effet l'image de $ f$ est compacte comme image continue d'un compact, voir proposition [*], or la distance entre un compact et un fermé disjoint de lui est $ >0$, voir corollaire [*]).

Considérons alors $ u_n=f^n(x)$, et supposons que $ u_{k_n}$ converge, pour $ (k_n)$ une certaine suite strictement croissante. Si l'on aboutit à une contradiction, alors le théorème de Bolzano Weierstrass permettra de conclure que l'espace ne peut être compact.

$ d(u_{k_n},u_{k_{n+1}})=d(u_{k_{n+1}-k_n},x) $ puisque $ f$ est une isométrie. Or $ d(u_{k_{n+1}-k_n},x) >\epsilon$ par définition de $ x$ et puisque les $ u_n$ appartiennent à l'image de $ f$ pour $ n>0$. D'où la contradiction recherchée.$ \sqcap$$ \sqcup$

Lemme Sous les mêmes hypothèses que le lemme [*], pour tout $ \epsilon >0$, il existe une suite finie $ x_i$ telle que les boules $ B(x_i,\epsilon)$ recouvrent $ X$.

Démonstration: Si le lemme est faux pour un certain $ \epsilon$, alors on peut construire par récurrence une suite telle que chaque point soit à une distance au moins $ \epsilon$ des autres points, ce qui contredit l'hypothèse.$ \sqcap$$ \sqcup$
Avec ces deux lemmes on conclut facilement; si toute suite contient une sous-suite convergente, alors étant donné un recouvrement ouvert $ (V_i)$, on peut construire par le premier lemme un ensemble de boules recouvrant $ X$ et tel que chaque boule est incluse dans l'un des $ V_i$; ensuite par le deuxième lemme, on se ramène à un nombre fini de points, et il ne reste plus qu'à cueillir le bon sous-ensemble des $ V_i$.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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