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Connexité

Définition Un espace topologique est dit connexe si les seuls sous-ensembles de $ X$ à la fois ouverts et fermés sont $ \emptyset$ et $ X$. Une partie d'un espace topologique est connexe si elle est connexe pour la topologie induite.

Application(s)... On utilisera la connexité pour montrer:

  • certaines formes du théorème des valeurs intermédiaires [*].

  • le corollaire [*] sur la dérivabilité d'une limite d'une suite de fonctions.

  • les lemmes [*] et [*], utile pour une démonstration du théorème de Jordan

  • la proposition [*] utilisera la connexité pour définir une distance dans un ouvert connexe d'un espace vectoriel normé

  • théorème de Runge, [*].

  • Tous les résultats basés sur l'indice, par exemple le théorème de Cauchy [*], et beaucoup de résultats sur les fonctions holomorphes.

  • L'exercice de la partie [*], montrant qu'une fonction $ f$ $ C^\infty$ de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ telle que $ \forall x \exists n f^{(n)}(x)=0$ est polynomiale.

On trouvera diverses autres applications de la connexité plus loin dans ce chapitre.

Proposition Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) $ X$ est connexe
(ii) Une application $ \phi$ de $ X$ dans $ \{0,1\}$ continue est constante, avec $ \{0,1\}$ muni de la topologie discrète.
(iii) Pour tout couple d'ouverts $ A$ et $ B$ de $ X$, si $ X=A \cup B$ et $ A \cap B= \emptyset$, alors $ A=\emptyset$ ou $ B=\emptyset$
(iv) Pareil avec des fermés
(v) Toutes les parties de $ X$ non triviales (i.e. autres que $ X$ et $ \emptyset$) ont une frontière non vide.

Démonstration: Facile:

(i) $ \to$ (ii) Si $ X$ est connexe, montrons que toute application continue de $ X$ dans $ \{0,1\}$ est constante.

En effet, si une telle application $ f$ n'était pas constante, on partitionnerait $ X$ en deux ouverts non vides ( $ f^{-1}(0)=f^{-1}(]-\frac12,\frac12[)$ et $ f^{-1}(1)=f^{-1}(]\frac12,\frac 32[)$); chacun d'eux serait alors à la fois ouvert, fermé, et non trivial.

La réciproque (ii) $ \to$ (i) est non moins simple (raisonner par l'absurde: si $ A$ ouvert et fermé non vide et différent de $ X$, alors prendre la fonction caractéristique de $ A$ dans $ X$).

(ii) $ \to$ (iii) Facile, en voyant que si $ A$ et $ B$ contredisent l'hypothèse, $ A$ est ouvert et fermé et non trivial.

Le reste est du même niveau de difficulté, je le passe sous silence... $ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ \bullet $Si $ A \subset X$ est connexe et si $ A \subset B \subset \overline A$, alors $ B$ est connexe.
$ \bullet $Si les $ A_i$ sont des parties connexes de $ X$ et $ \cap A_i \neq \emptyset$, alors $ \cup A_i$ est connexe.
$ \bullet $Si les $ A_i$ sont des parties connexes de $ X$ et pour tout couple $ A_i,A_j$ il existe $ i_0,...,i_k$ avec $ i_0=i$ et $ i_k=j$ tels que $ A_{i_l}$ intersecte $ A_{i_{l+1}}$, alors $ \cup A_i$ est connexe.

Démonstration: Pour montrer la première assertion on utilise la deuxième des caractérisations des connexes données en [*].
La deuxième assertion n'est qu'un cas particulier de la troisième.
La troisième assertion là aussi se montre en utilisant la seconde des caractérisations des connexes données en [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Les connexes de $ \mathbb{R}$ sont les intervalles.

Démonstration: Facile.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème L'image d'un connexe par une fonction continue est un connexe.

Démonstration: Facile toujours en utilisant la même caractérisation des connexes.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Soit $ f$ une application continue définie sur un connexe et à valeurs dans $ \mathbb{R}$. Alors l'image de $ f$ est un intervalle.

Démonstration: Facile au vu des deux théorèmes précédents.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Le théorème des valeurs intermédiaires (dans le cas d'une fonction continue, pas dans le cas d'une fonction dérivée) découle immédiatement du théorème ci-dessus.

Application(s)... Théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction dérivée, dit aussi théorème de Darboux, [*].

Théorème [passage à la douane] Soit $ X$ un espace topologique et $ A \subset X$ connexe. Si $ A$ intersecte à la fois $ B$ et son complémentaire, alors $ A$ intersecte la frontière de $ B$.

Démonstration: Il suffit de voir que les deux ouverts $ Int(B)$ et $ Ext(B)$ ne peuvent recouvrir $ A$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Un produit d'ensembles non vides est connexe si et seulement si chacun des facteurs l'est.

Démonstration: Il est facile de voir, via les projections canoniques, que si le produit est connexe, chacun des facteurs l'est. La réciproque est plus difficile. On commence par le cas où le produit est un produit de deux espaces (voir figure [*]). Pour cela on montre que tous les couples $ (x,y)=(x_1,x_2),(y_1,y_2)$ sont contenus dans un sous-ensemble connexe de $ X_1 \times X_2$; on utilisera ensuite la proposition [*]. Il suffit pour ce résultat intermédiaire de considérer l'union de $ X_1 \times \{y_2\}$ et de $ \{x_1\} \times X_2$. Par récurrence, on généralise ce résultat à tout produit fini de connexes.

Figure: Un produit fini d'ensembles est connexe si et seulement si chacun des facteurs l'est. La généralisation à un produit infini se fait par un argument de connexité de l'adhérence d'une partie connexe convenablement choisie (voir le texte).
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =6cm
\epsfbox{procon.eps}\end{displaymath}\end{figure}

On considère maintenant un produit quelconques $ X$ de facteurs $ X_i$ connexes non vides. On considère un élément $ y$ de $ X$, en utilisant l'axiome du choix. Pour $ A$ fini inclus dans $ I$ ($ I$ est l'index de $ X_i$), on définit alors le sous-ensemble $ X_A$ de $ X$ défini par $ (x_i) \in X_A$ si et seulement si $ x_i=y_i$ pour tout $ i$ tel que $ i \not \in A$. $ X_A$ est connexe puisqu'homéomorphe à un produit fini de $ X_i$. On peut vérifier que la réunion des $ X_A$ est dense dans $ X$ (en se rappelant qu'une base d'ouverts d'une topologie produit est l'ensemble des intersections finies d'images d'ouverts par les projections inverses) et connexe (par le deuxième point de la proposition [*]), et on conclut par le premier point de la proposition [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Une fonction localement constante sur un connexe est constante.
Démonstration: Il suffit de voir que l'image réciproque d'un singleton est à la fois ouverte et fermée.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Composante connexe] Avec $ x \in X$, la composante connexe de $ x$, notée $ C(x)$, est la réunion de tous les connexes contenant $ x$.

Proposition $ \bullet $Tout point appartient à sa composante connexe
$ \bullet $La composante connexe d'un point est le plus grand connexe contenant ce point
$ \bullet $Les composantes connexes sont fermées
$ \bullet $Deux composantes connexes sont disjointes ou confondues. En particulier, la famille des composantes connexes forment une partition de l'espace.

Démonstration: Le premier point est trivial, le deuxième aussi par [*], le troisième découle de la connexité de $ \overline {C(x)}$, le quatrième point découle du fait que la réunion de deux connexes non disjoints est un connexe (deuxième point de la proposition [*]).$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Arc ou chemin, ligne brisée] Un arc ou chemin est une application continue de $ [0,1]$ dans $ X$. L'image de 0 et l'image de $ 1$ sont les extrémités de l'arc.
Une ligne brisée entre $ a$ et $ b$ est une suite finie de segments $ [x_i,x_{i+1}]$ avec $ i \in [0,n-1]$, $ x_0=a$ et $ x_n=b$.
On appelle longueur d'une ligne brisée la somme des longueurs de ses segments.

Exercice 13   $ \bullet $Dans un espace normé, l'application qui à $ t$ associe $ (1-t).x+t.y$ est un arc d'extrémités $ x$ et $ y$ (on dit aussi un arc entre $ x$ et $ y$). L'image de cet arc est appelée segment, noté $ [x,y]$.
$ \bullet $D'un arc entre $ x$ et $ y$ et un arc entre $ y$ et $ z$ on peut déduire un arc entre $ x$ et $ z$.

Définition [Connexe par arcs] Un espace topologique est dit connexe par arcs si il existe un arc entre toute paire de points.
Une partie d'un espace topologique est dite connexe par arcs si elle est connexe par arcs pour la topologie induite.


\begin{eg}
Un convexe est connexe par arcs.\\
\end{eg}
Démonstration: Cela découle des exemples ci-dessus.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Un connexe par arcs est connexe. La réciproque est fausse.

Démonstration: On fixe $ x$ dans un espace connexe par arcs. Chaque arc est un connexe, car image d'un connexe ($ [0,1]$) par une fonction continue; la réunion des arcs partant de $ x$ est connexe (par la proposition [*]), or par définition cette réunion est l'espace tout entier. Pour la réciproque, considérer la figure [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Figure: Un connexe qui n'est pas connexe par arcs. La même figure fournit un exemple de connexe qui n'est pas localement connexe. Il s'agit de la courbe des $ (x,sin(1/x))$ vers 0 par valeurs inférieures, plus la frontière $ \{0\}\times[-1,1]$. On voit que la figure n'est pas localement connexe en considérant ce qu'il se passe au voisinage du point $ (0,1)$.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =8cm
\epsfbox{arcs.eps}\end{displaymath}\end{figure}

Exercice 14   Soit l'application $ f:]0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, qui à $ x$ associe $ 1/sin(x)$. Montrer que la fermeture de son graphe est connexe mais pas connexe par arcs.

Démonstration: On suppose qu'il existe une fonction $ \phi$ continue qui à 0 associe $ (0,1)$ et à $ 1$ associe $ (1,sin(1))$, et telle que pour tout $ x$ on ait $ \phi(x)$ appartienne au graphe de $ f$. On considère $ x_0$ le sup de l'ensemble des $ x$ tels que la première composante de $ \phi(x)$ soit nulle. Il suffit ensuite de considérer la limite de la deuxième composante pour $ x$ tendant vers $ x_0$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Soit $ C_i$ une famille de parties connexes par arcs. Si pour toute paire $ i,j$ il existe une suite finie $ C_{a_0},...,C_{a_k}$ avec $ C_{a_h}\cap C_{a_{h+1}} \neq \emptyset$ et $ a_0=i$ et $ a_k=j$, alors la réunion est connexe par arcs.

Démonstration: Facile.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Composante connexe par arcs] La composante connexe par arcs de $ x$ est la réunion de tous les connexes par arcs passant par $ x$; on la note $ C_a(x)$.

Proposition $ \bullet $La composante connexe par arcs d'un point est connexe par arcs.
$ \bullet $Deux composantes connexes par arcs sont soit disjointes soit confondues.
$ \bullet $ $ C_a(x) \subset C(x)$, car $ C_a(x)$ est un connexe contenant $ x$, et $ C(x)$ est le plus grand connexe contenant $ x$ par définition.

Définition [Localement connexe (par arcs)] Un espace est localement connexe (resp. par arcs) si tout point de l'espace possède une base de voisinage connexes (resp. par arcs).

Attention! Attention; un espace peut être connexe sans être localement connexe. Voir par exemple la figure [*].

Notamment, alors qu'un espace dont tout point possède un voisinage compact (par exemple un espace compact!) est localement compact, un espace dont tout point possède un voisinage connexe n'est pas nécessairement localement connexe.

Théorème Dans un espace localement connexe (resp. localement connexe par arcs), les composantes connexes (resp. par arcs) des ouverts sont ouvertes.
Démonstration: Facile.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Dans un espace localement connexe (resp. localement connexe par arcs) tout point possède une base de voisinages ouverts et connexes (resp. connexes par arcs).

Démonstration: Il suffit de considérer, étant donné $ x$ et un voisinage $ V$ de $ x$, un ouvert inclus dans $ V$ et contenant $ x$,et une composante connexe (resp. par arcs) de $ x$ dans cet ouvert.$ \sqcap$$ \sqcup$

On peut noter le théorème suivant:

Théorème Dans un espace localement connexe par arcs, les ouverts connexes sont connexes par arcs. Notamment, les ouverts connexes de $ \mathbb{R}^n$, ou de tout espace vectoriel normé 1.9 sont connexes par arcs.



Notes

... normé1.9
Ou même de tout espace vectoriel topologique.

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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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