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Suites de Cauchy. Espace complet

Définition [Suite de Cauchy] Une suite $ (x_n)$ dans un espace métrique est dite suite de Cauchy si pour tout $ \epsilon >0$ il existe un $ N \in \mathbb{N}$ tel que $ \forall n,m > N$ on a $ d(x_n,x_m)<\epsilon$.

Attention! La notion de suite de Cauchy est une notion métrique et non une notion topologique. Même si deux distances sont équivalentes, on ne peut être sûr que les suites de Cauchy soient les mêmes pour les deux métriques. Par exemple avec $ d(x,y)=\vert arctan(x)-arctan(y)\vert$, la topologie sur $ \mathbb{R}$ est la même que pour la topologie usuelle, mais la suite $ u_n=n$ n'est pas de Cauchy pour la métrique usuelle, alors qu'elle est de Cauchy pour cette métrique.

Proposition $ \bullet $Etant donnée une suite $ x_n$, notons $ X_n=\{x_k / k \geq n \}$; alors la suite $ x_n$ est de Cauchy si et seulement si le diamètre de $ X_n$ tend vers 0.
$ \bullet $Dans un espace métrique toute suite convergente est de Cauchy. $ \bullet $L'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est une suite de Cauchy.

Définition [Espace complet] Un espace métrique $ X$ est complet, si toute suite de Cauchy de $ X$ a une limite dans $ X$.

Quelques exemples d'espaces complets:

$ \bullet $les exemples de Banach donnés un peu plus loin.
$ \bullet $ $ C^k(\Omega)$ avec $ \Omega$ un ouvert de $ \mathbb{R}^n$, voir partie [*].

Une propriété fondamentale des espaces complets est le théorème du point fixe [*].

Définition [Espace de Banach] Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
Un isomorphisme entre l'espace de Banach $ E$ et l'espace de Banach $ F$ est un isomorphisme des espaces vectoriels normés sous-jacents.

Quelques exemples d'espaces de Banach:
$ \bullet $ $ \mathbb{R}$
$ \bullet $ $ \mathbb{R}^n$ muni d'une des normes suivantes:
- $ (x_1,...,x_n) \mapsto \sum_{i=1}^n \vert x_i\vert$
- $ (x_1,...,x_n) \mapsto \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$
- $ (x_1,...,x_n) \mapsto max_{i=1}^n \vert x_i\vert$
$ \bullet $L'ensemble des applications continues bornées d'un espace topologique $ X$ dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$, muni de la norme $ f \mapsto sup_{x\in X} \vert f(x)\vert$
$ \bullet $Les espaces $ L^p$, comme on le verra en [*]
$ \bullet $Si $ F$ est un Banach et $ E$ un espace vectoriel normé , alors $ {\cal L}(E,F)$ (ensemble des fonctions linéaires continues de $ E$ dans $ F$) est un Banach (pour la norme $ f \mapsto sup_{{\parallel}x {\parallel}=1} {\parallel}f(x) {\parallel}$).

On rappelle que deux normes sont dites équivalentes si elles définissent la même topologie.

Tout d'abord quelques propriétés des Banachs issues directement de la partie [*]:
$ \bullet $Un isomorphisme algébrique (i.e. un isomorphisme au sens des espaces vectoriels ) continu entre espaces de Banach est un isomorphisme d'espaces vectoriels normés .
$ \bullet $Toutes les normes sont équivalentes sur des $ \mathbb{R}$-espaces vectoriels de dimension finie.
$ \bullet $Deux normes sont équivalentes si et seulement si chacune d'elle est inférieure à une certaine constante multipliée par l'autre
$ \bullet $Un espace vectoriel normé de dimension finie est complet, et donc est un Banach.
$ \bullet $Les compacts d'un espace vectoriel normé de dimension finie sont les fermés bornés.

Proposition Etant donnés des espaces métriques $ E_i$ en nombre fini, le produit $ E_0 \times ... \times E_n$ peut être équipé d'une métrique définie par $ d((x_i),(y_i))$ de l'une des formes suivantes (entre autres):
$ \bullet $ $ \sum_i d(x_i,y_i)$
$ \bullet $ $ \sqrt{\sum_i d(x_i,y_i)^2}$
$ \bullet $ $ \sqrt[p]{\sum_i d(x_i,y_i)^p}$
$ \bullet $ $ max_i d(x_i,y_i)$
Ce sont bien des distances et elles sont équivalentes entre elles. La topologie ainsi définie est la topologie produit, que l'on a définie plus tôt.

Proposition Un espace métrique est complet si et seulement si l'intersection de toute suite décroissante de fermés non vides de diamètre tendant vers 0 est non vide et donc réduite à un point.

Démonstration: Si l'espace métrique est complet, alors on considère $ x_n$ appartenant au $ n$-ième fermé; la suite est de Cauchy, et converge donc vers un point; quel que soit $ n$, ce point est limite d'une suite de points de $ X_n$; donc il appartient à $ X_n$ puisque $ X_n$ est fermé. En outre, le diamètre tendant vers 0, le diamètre de l'intersection est 0; donc il s'agit d'un seul point.
Réciproquement, étant donnée une suite de Cauchy $ x_n$, on considère la suite des $ X_n$ avec $ X_n={\overline \{x_k/k \geq n\}}$; cette suite vérifie les hypothèses, donc l'intersection des $ X_n$ est réduite à un point. On montre facilement que ce point est limite des $ x_n$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Un produit fini d'espaces métriques complets, muni d'une métrique comme défini ci-dessus, est complet.
Réciproquement un produit fini d'espaces métriques, muni d'une métrique comme défini ci-dessus, est complet si et seulement si chacun des facteurs l'est.

Démonstration: La démonstration (pas très difficile) est laissée au lecteur.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Si une suite de Cauchy a une valeur d'adhérence, elle est convergente.

Démonstration: On considère une suite extraite qui converge, et on montre facilement que la suite tend vers la même limite.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Un espace métrique compact est complet.

Démonstration: S'il est compact, toute suite a une valeur d'adhérence (par le théorème de Bolzano-Weierstrass [*]); il suffit alors d'appliquer la proposition précédente.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Le corps $ \mathbb{R}$ est complet pour sa métrique; de même $ \mathbb{R}^n$ muni d'une norme est complet pour cette norme. Plus généralement un espace normé de dimension finie est complet.

Démonstration: On considère une norme sur $ E$ de dimension finie et une suite de Cauchy $ x_n$. On montre que pour un certain $ N$ la suite est à valeurs dans la boule de centre $ x_N$ et de rayon $ 1$ à partir du rang $ N$, directement par la définition d'une suite de Cauchy; on a donc une suite dans un compact, et donc la suite de Cauchy converge vers un élément de cette boule.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... On trouvera par exemple une utilisation de ce théorème dans [*].

Proposition Un sous-ensemble d'un métrique complet est complet si et seulement si il est fermé.

Démonstration: Soit $ A$ un sous-ensemble fermé de $ X$ complet. Si $ x_n$ est une suite de Cauchy dans $ A$, c'est aussi une suite de Cauchy dans $ X$, donc elle converge. Si $ A$ est fermé la limite est dans $ A$. Réciproquement, on suppose $ x$ dans $ \overline A$, et on choisit une suite $ x_n$ qui tend vers $ x$; et on remarque que $ x_n$ est de Cauchy et donc converge vers une limite dans $ A$ puisque $ A$ est complet.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Série absolument convergente] Soit $ E$ un espace vectoriel normé. $ (x_n)$ dans $ E$ est appelée une série absolument convergente si $ \sum_{n\geq 0} \parallel x_n \parallel < + \infty$.

Théorème Un espace vectoriel normé $ E$ est complet si et seulement si toute série absolument convergente $ (x_n)$ est convergente dans $ E$.

Démonstration: Supposons $ E$ complet.
Soit une série $ x_n$ absolument convergente. Pour $ m>n$ on a

$\displaystyle d(\sum_{i=0}^n x_i,\sum_{i=0}^m x_i)=\parallel \sum_{i=n+1}^m x_i \parallel$

$\displaystyle \leq \sum_{i=n+1}^m \parallel x_i \parallel$

$\displaystyle \leq \sum_{i=n+1}^{+\infty} \parallel x_i\parallel$

$\displaystyle \rightarrow 0 $

Donc la suite $ y_n = \sum_{i=0}^n x_i$ est de Cauchy, et donc converge.

Réciproquement supposons maintenant que toute série absolument convergente converge. On se donne $ x_n$ une suite de Cauchy. On en extrait une sous-suite, et $ \parallel x_{m} - x_{n_k} \parallel \leq \frac1{2^k}$ pour $ m \geq n_k$; la série correspondante est absolument convergente; il est facile d'en déduire que la suite a une valeur d'adhérence, et donc qu'elle converge.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Si $ E$ est normé et si $ F$ est de Banach, alors l'espace normé $ {\cal L}(E,F)$ est aussi de Banach.

Démonstration: Soit $ f_n$ une suite de Cauchy dans $ {\cal L}(E,F)$. Pour tout $ x\in E$, on a $ \parallel f_n(x) - f_m(x) \parallel \leq \parallel f_n - f_m \parallel.\parallel x \parallel$, donc la suite $ f_n(x)$ est de Cauchy dans $ F$; elle converge vers un élément que l'on note $ f(x)$. Il est clair que $ f$ est linéaire. On fixe alors $ \epsilon >0$. On choisit $ N$ tel que $ \parallel f_n-f_m\parallel \leq \epsilon $, pour $ n,m>N$, et on considère $ x$ de norme $ <1$. En faisant tendre $ m$ vers l'infini on obtient que $ \forall n > N$ $ \parallel f_n(x)-f(x)\parallel\leq \epsilon $ ; donc $ f$ est bornée sur la boule unité, et donc $ f$ est continue. On obtient avec la même formule la convergence de $ f_n$ vers $ f$ au sens de la norme. En résumé, la preuve s'obtient en montrant la convergence simple (facile), puis en montrant que la limite est linéaire (trivial), puis qu'elle est continue (y'a qu'à l'écrire et ça roule). $ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Le dual $ E'$ d'un espace normé $ E$ est un espace de Banach.

Démonstration: Par application immédiate du théorème précédent.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... Voir le corollaire [*].

Théorème Si $ K$ est un espace compact et $ Y$ un espace complet, alors l'espace des applications continues de $ K$ dans $ Y$ $ C^0(K,Y)$ est métrique complet pour la distance $ d(f,g)=sup_x d(f(x),g(x))$.
Démonstration: La compacité de $ K$ permet de vérifier que la fonction $ d$ est bien définie; elle est clairement effectivement une métrique. Etant donnée $ f_n$ une suite de Cauchy dans l'espace considéré, on montre facilement que cette suite converge simplement vers une certaine fonction $ f$; en utilisant la continuité de $ f_n$ et la convergence uniforme on conclut facilement à la continuité de $ f$. La convergence uniforme des $ f_n$ découle facilement du critère de Cauchy dans l'espace considéré.$ \sqcap$$ \sqcup$
Application(s)... Voir par exemple le théorème [*]. On peut citer aussi le fait que l'espace des applications continues d'un espace $ K$ compact dans un espace $ E$ de Banach est de Banach pour la norme $ {\parallel}f {\parallel}_\infty=sup_x {\parallel}f(x) {\parallel}_E$.

Exercice 15   Si $ E_1,...E_n$ sont des espaces vectoriels normés, avec $ F$ de Banach, montrer que l'espace normé $ L(E_1,...,E_n);F)$ est aussi de Banach.


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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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