Complété d'un espace métrique

Théorème Tout espace métrique se plonge isométriquement dans un espace complet avec dense dans .
Si on se donne deux tels plongements, alors l'identité sur s'étend de manière unique en une isométrie de et .

Définition Un tel espace métrique complet est appelé complété de .

Démonstration:

Existence:
on commence par introduire une relation d'équivalence entre les suites de Cauchy : on dit de deux suites qu'elles sont équivalentes si la distance entre l'une et l'autre tend vers 0 (ie est équivalente à si ).
On considère l'ensemble des classes d'équivalences pour cette relation.
On note par la classe d'équivalence de la suite .
On remarque que la distance entre et tend vers une limite donnée pour tendant vers (noter que pour ce point on utilise la complétude de montrée un peu plus tôt).
On peut donc prendre pour distance sur la limite de la distance entre deux suites pour tendant vers l'infini; on vérifie facilement qu'il s'agit bien d'une distance.
On peut prendre pour plongement la fonction qui à associe la suite constante égale à .
On constate facilement que ce plongement est une isométrie.
On peut voir facilement que l'image du plongement est dense dans en considérant pour une suite donnée la suite des suites de Cauchy constante égales à .
On peut maintenant identifier et son image.
On considère maintenant une suite de Cauchy dans , notée .
Pour tout on peut choisir , suite de Cauchy, telle que la distance (dans ) entre et soit inférieure à .
La suite est de Cauchy dans , et donc aussi dans . Par définition de , la limite de la suite est la classe des suites dont la distance à est nulle.
Il ne reste plus qu'à voir que tend aussi vers cette limite.

L'unicité résulte du corollaire .

Théorème Soient deux espaces métriques et avec complet. Si est une partie dense de et est uniformément continue, alors il existe un et un seul prolongement continu . Cette fonction est de plus uniformément continue.
Démonstration: L'unicité est évidente, par unicité de la limite et par la densité de dans .

L'existence découle immédiatement du critère de Cauchy, grâce à la complétude de .

Il reste à montrer l'uniforme continuité: soient et distincts dans . Soit et , avec et dans . si est assez grand. L'uniforme continuité de en découle immédiatement.

Cela servira à montrer quelques propriétés simples des espaces de Hölder, voir , et le théorème de Plancherel. L'escalier de Cantor utilise aussi ceci (voir partie ). Cela permet aussi de voir que si est métrique complet connexe localement connexe, alors est connexe par arcs

Corollaire Une isométrie d'un sous-ensemble dense de l'espace métrique sur une partie de l'espace métrique complet s'étend de manière unique en une isométrie de sur une partie de . L'extension est une bijection de sur si et seulement si est dense dans .

Démonstration: Evident, même preuve que pour le théorème .