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Complété d'un espace métrique

Théorème Tout espace métrique $ (X,d)$ se plonge isométriquement dans un espace complet $ (\tilde X, \tilde d)$ avec $ X$ dense dans $ \tilde X$.
Si on se donne deux tels plongements, alors l'identité sur $ X$ s'étend de manière unique en une isométrie de $ \tilde X_1$ et $ \tilde X_2$.

Définition Un tel espace métrique complet est appelé complété de $ X$.


Démonstration:

Existence:
$ \bullet $on commence par introduire une relation d'équivalence entre les suites de Cauchy : on dit de deux suites qu'elles sont équivalentes si la distance entre l'une et l'autre tend vers 0 (ie $ (x_n)$ est équivalente à $ (y_n)$ si $ \lim x_n-y_n \to 0$).
$ \bullet $On considère $ \tilde X$ l'ensemble des classes d'équivalences pour cette relation.
$ \bullet $On note par $ [x_n]$ la classe d'équivalence de la suite $ x_n$.
$ \bullet $On remarque que la distance entre $ x_n$ et $ y_n$ tend vers une limite donnée pour $ n$ tendant vers $ +\infty$ (noter que pour ce point on utilise la complétude de $ \mathbb{R}$ montrée un peu plus tôt).
$ \bullet $On peut donc prendre pour distance sur $ \tilde X$ la limite de la distance entre deux suites pour $ n$ tendant vers l'infini; on vérifie facilement qu'il s'agit bien d'une distance.
$ \bullet $On peut prendre pour plongement la fonction qui à $ x$ associe la suite constante égale à $ x$.
$ \bullet $On constate facilement que ce plongement est une isométrie.
$ \bullet $On peut voir facilement que l'image du plongement est dense dans $ \tilde X$ en considérant pour une suite donnée $ x_n$ la suite des suites de Cauchy constante égales à $ x_n$.
$ \bullet $On peut maintenant identifier $ X$ et son image.
$ \bullet $On considère maintenant une suite de Cauchy dans $ \tilde X$, notée $ y_n$.
$ \bullet $Pour tout $ n$ on peut choisir $ x_n$, suite de Cauchy, telle que la distance (dans $ \tilde X$) entre $ x_n$ et $ y_n$ soit inférieure à $ 1/n$.
$ \bullet $La suite $ x_n$ est de Cauchy dans $ \tilde X$, et donc aussi dans $ X$. Par définition de $ \tilde X$, la limite de la suite $ x_n$ est la classe des suites dont la distance à $ x_n$ est nulle.
$ \bullet $Il ne reste plus qu'à voir que $ y_n$ tend aussi vers cette limite.

L'unicité résulte du corollaire [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Soient deux espaces métriques $ A$ et $ B$ avec $ B$ complet. Si $ D$ est une partie dense de $ A$ et $ f:D \rightarrow B$ est uniformément continue, alors il existe un et un seul prolongement continu $ \tilde f:A \rightarrow B$. Cette fonction $ \tilde f$ est de plus uniformément continue.
Démonstration: $ \bullet $L'unicité est évidente, par unicité de la limite et par la densité de $ D$ dans $ A$.

$ \bullet $L'existence découle immédiatement du critère de Cauchy, grâce à la complétude de $ B$.

$ \bullet $Il reste à montrer l'uniforme continuité: soient $ x$ et $ y$ distincts dans $ A$. Soit $ x_n \to x$ et $ y_n \to y$, avec $ x_n$ et $ y_n$ dans $ D$. $ d(\tilde f(x),\tilde f(y))\leq 2 d(f(x_n),f(y_n))$ si $ n$ est assez grand. L'uniforme continuité de $ \tilde f$ en découle immédiatement.

Application(s)... Cela servira à montrer quelques propriétés simples des espaces de Hölder, voir [*], et le théorème de Plancherel. L'escalier de Cantor utilise aussi ceci (voir partie [*]). Cela permet aussi de voir que si $ E$ est métrique complet connexe localement connexe, alors $ E$ est connexe par arcs

Corollaire Une isométrie $ i:D \rightarrow B$ d'un sous-ensemble dense de l'espace métrique $ A$ sur une partie de l'espace métrique complet $ B$ s'étend de manière unique en une isométrie $ \tilde i: A \rightarrow B$ de $ A$ sur une partie de $ B$. L'extension $ \tilde i$ est une bijection de $ A$ sur $ B$ si et seulement si $ i(D)$ est dense dans $ B$.

Démonstration: Evident, même preuve que pour le théorème [*].$ \sqcap$$ \sqcup$


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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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