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Cas le plus général d'espace topologique

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Cas le plus général d'espace topologique

Définition [Topologie] Une topologie ${\cal T}$ sur l'ensemble est une partie ${\cal T}\subset P(X)$ vérifiant:
$\bullet$ L'ensemble vide $\emptyset$ et sont dans ${\cal T}$
$\bullet$ ${\cal T}$ est stable par réunions arbitraires
$\bullet$ ${\cal T}$ est stable par intersections finies

Un tel couple $(X,{\cal T})$ est appelé espace topologique. Les éléments de ${\cal T}$ sont appelés les ouverts de la topologie.
Une partie de est dite fermée si son complémentaire est ouvert.

Exemples:
$\bullet$ La topologie discrète sur l'ensemble est la topologie ${\cal T}_d = P(X)$
$\bullet$ La topologie grossière sur l'ensemble est la topologie ${\cal T}_g = \{ \emptyset,X\}$
$\bullet$ Sur $\overline \mathbb{N}= \mathbb{N}\cup \{+\infty\}$ , la topologie usuelle est l'ensemble des tels que $U \subset \mathbb{N}$ ou $+ \infty \in U \land \mathbb{N}\setminus U$ est cofini.

On verra aussi d'autres exemples en parties et .

Proposition Si est un espace topologique alors
$\bullet$ et $\emptyset$ sont des fermés de
$\bullet$ Une intersection quelconque de fermés est un fermé
$\bullet$ Une union finie de fermés est un fermé

Démonstration: Immédiat, par passage au complémentaire. $\sqcap$ $\sqcup$

Définition [Séparation par des ouverts] On dit que la partie et la partie sont séparées par des ouverts s'il existe deux ouverts et tels que $A \subset U$ et $B \subset V$ tels que $U \cap V = \emptyset$ .