Définition [Topologie] Une topologie sur l'ensemble est une partie
vérifiant:
L'ensemble vide et sont dans est stable par réunions arbitraires
est stable par intersections finies
Un tel couple
est appelé espace topologique. Les éléments de sont appelés les ouverts de la topologie.
Une partie de est dite fermée si son complémentaire est ouvert.
Exemples: La topologie discrète sur l'ensemble est la topologie
La topologie grossière sur l'ensemble est la topologie
Sur
, la topologie usuelle est l'ensemble des tels que
ou
est cofini.
On verra aussi d'autres exemples en parties et .
Proposition
Si est un espace topologique alors
et sont des fermés de Une intersection quelconque de fermés est un fermé
Une union finie de fermés est un fermé
Démonstration:Immédiat, par passage au complémentaire.
Définition [Séparation par des ouverts]
On dit que la partie et la partie sont séparées par des ouverts s'il existe deux ouverts et tels que
et
tels que
.