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Cas le plus général d'espace topologique

Définition [Topologie] Une topologie $ {\cal T}$ sur l'ensemble $ X$ est une partie $ {\cal T}\subset P(X)$ vérifiant:
$ \bullet $L'ensemble vide $ \emptyset$ et $ X$ sont dans $ {\cal T}$
$ \bullet $$ {\cal T}$ est stable par réunions arbitraires
$ \bullet $$ {\cal T}$ est stable par intersections finies

Un tel couple $ (X,{\cal T})$ est appelé espace topologique. Les éléments de $ {\cal T}$ sont appelés les ouverts de la topologie.
Une partie de $ X$ est dite fermée si son complémentaire est ouvert.

Exemples:
$ \bullet $La topologie discrète sur l'ensemble $ X$ est la topologie $ {\cal T}_d = P(X)$
$ \bullet $La topologie grossière sur l'ensemble $ X$ est la topologie $ {\cal T}_g = \{ \emptyset,X\}$
$ \bullet $Sur $ \overline \mathbb{N}= \mathbb{N}\cup \{+\infty\}$, la topologie usuelle est l'ensemble des $ U$ tels que $ U \subset \mathbb{N}$ ou $ + \infty \in U \land \mathbb{N}\setminus U$    est cofini.

On verra aussi d'autres exemples en parties [*] et [*].

Proposition Si $ X$ est un espace topologique alors
$ \bullet $$ X$ et $ \emptyset$ sont des fermés de $ X$
$ \bullet $Une intersection quelconque de fermés est un fermé
$ \bullet $Une union finie de fermés est un fermé

Démonstration: Immédiat, par passage au complémentaire.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Séparation par des ouverts] On dit que la partie $ A$ et la partie $ B$ sont séparées par des ouverts s'il existe deux ouverts $ U$ et $ V$ tels que $ A \subset U$ et $ B \subset V$ tels que $ U \cap V = \emptyset$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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