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Espaces métriques et espaces normés

Définition [Métrique] Une métrique ou distance sur l'ensemble $ X$ est une application $ d:X \times X \rightarrow [0,+\infty[$ vérifiant:
$ \bullet $ $ d(x,y)=0 \iff x=y$
$ \bullet $ $ d(x,y)=d(y,x)$
$ \bullet $ $ d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$ (propriété dite inégalité triangulaire)
On dit alors que $ (X,d)$ est un espace métrique.

Exemples:
$ \bullet $ $ d_p=(\sum \vert x_i-y_i\vert^p)^{1/p}$
$ \bullet $ $ d_\infty=max\vert x_i-y_i\vert$

Propriété:

$ \bullet $ $ \vert d(x,z)-d(y,z)\vert \leq d(x,y)$

Définition [Boules] Si $ x$ est un point de l'espace métrique $ X$ et $ r \in [0,+\infty[$, on appelle boule ouverte (resp. fermée) de centre $ x$ et de rayon $ r$, l'ensemble des $ y$ tels que $ d(x,y)<r$ (resp. $ d(x,y) \leq r$).
On appelle sphère de l'espace métrique $ X$ de centre $ x$ et de rayon $ r$ l'ensemble des $ y$ tels que $ d(x,y)=r$.

Proposition Si $ X$ est un espace métrique, la famille de parties de $ X$ dont les éléments sont les réunions arbitraires de boules ouvertes est une topologie sur $ X$. Cette topologie est appelée la topologie associée à la métrique.

Une partie $ X$ d'un espace métrique $ E$ est dite bornée si étant donné un point $ e$ dans $ E$ la distance de $ x$ à $ e$ pour $ x$ dans $ X$ est majorée par une certaine constante 1.1. Cela équivaut aussi au fait que la distance entre deux points quelconques de $ X$ est bornée. C'est à dire que :

- si pour un point $ x$, $ y \mapsto d(x,y)$ est bornée, alors pour tout point $ x$, $ y \mapsto d(x,y)$ est bornée.

- si pour tout point $ x$ $ y \mapsto d(x,y)$ est bornée, alors $ (x,y)\mapsto d(x,y)$ est aussi bornée.

Démonstration: La vérification est fastidieuse et ne présente pas de difficulté.$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! La notion de borné dépend de la métrique et pas de la topologie! C'est à dire que même si deux métriques sont topologiquement équivalentes (voir définition [*]) elles n'ont pas nécessairement les mêmes parties bornées. En fait pour toute métrique $ d$, on peut construire une métrique équivalente $ d'$ par $ d'(x,y)=ln(1+\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)})$, telle que toute partie soit bornée.

Propriétés:
$ \bullet $Dans un espace métrique, une partie est fermée si et seulement si elle contient la limite de toute suite convergente à valeurs dans cette partie.
$ \bullet $Une boule ouverte est ouverte, et donc un espace métrique est séparé
$ \bullet $Une boule fermée est fermée
$ \bullet $Une sphère est fermée
$ \bullet $Dans un espace métrique, une suite $ (x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers $ x$ si et seulement si $ d(x_n,x)$ tend vers 0.

Exercice 1  

$ \bullet $La topologie usuelle sur $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$ est la topologie associée à la distance $ d(x,y)=\vert x-y\vert$.
$ \bullet $La fonction qui à $ x$ et $ y$ associe 0 si $ x=y$ et $ 1$ sinon est une métrique. Cette métrique est associée à la topologie discrète, pour laquelle toute partie est à la fois un ouvert et un fermé.
$ \bullet $Si $ f$ est injective de $ X$ dans $ \mathbb{R}$, alors la fonction qui à $ x$ et $ y$ associe $ \vert f(x)-f(y)\vert$ est une distance sur $ X$.
$ \bullet $La topologie usuelle sur $ \overline \mathbb{R}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,\infty\}$ est définie par la distance $ d(x,y)=\vert f(x)-f(y)\vert$, avec $ f(x)=\frac x{1+\vert x\vert}$, $ f(+\infty)=1$ et $ f(-\infty)=-1$.

Définition [Isométrie] Etant donnés deux espaces métriques $ E$ et $ F$, une application $ f$ de $ E$ dans $ F$ est une isométrie si $ \forall (x,y)$ $ d_F(f(x),f(y))=d_E(x,y)$.

Définition [Métrisable] Une topologie est dite métrisable si et seulement si il existe une métrique telle que la topologie soit associée à cette métrique.

Deux métriques $ d_1$ et $ d_2$ sont dites équivalentes si il existe $ \alpha $ et $ \beta $ tels que $ \alpha d_1 < d_2 < \beta d_1$ 1.2, avec $ \alpha ,\beta > 0$.

Deux métriques sont dites topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie.


Remarque Soient deux distances $ d_1$ et $ d_2$ sur un espace $ E$; alors l'identité de $ (E,d_1)$ dans $ (E,d_2)$ est un homéomorphisme si et seulement si $ d_1$ et $ d_2$ sont topologiquement équivalentes, et elle est lipschitzienne et d'inverse lipschitzien 1.3 si et seulement si $ d_1$ et $ d_2$ sont équivalentes.

Proposition [Existence de topologie non métrisables] Il existe des topologies, même séparées, non métrisables.

Démonstration: Il est clair que toute topologie non séparée n'est pas métrisable.

Considérons, pour avoir un contre-exemple plus intéressant, une topologie séparée non métrisable. Ce contre-exemple fait appel à quelques notions qui seront définies ultérieurement, et peut donc être laissé de côté en première lecture.

Soit $ \mathbb{R}^\mathbb{R}$, muni de la topologie produit.

Supposons que cet espace topologique soit métrisable.

Alors tout point est à base dénombrable de voisinage.

Soit $ (U_n)$ une base de voisinages de 0.

Alors pour tout $ n$, $ U_n$ contient un voisinage de 0 (la fonction nulle de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$) de la forme

$\displaystyle V_n=\{f\in \mathbb{R}^\mathbb{R}/ \forall i \in [1,N_n] \vert f(x_{n,i})\vert<\epsilon _n\}$

On considère alors $ T$ l'ensemble des $ x_{n,i}$ pour $ i\leq N_n$ et $ n\in \mathbb{N}$.

Cet ensemble est dénombrable comme union dénombrable d'ensemble finis.

Soit maintenant $ x$ dans $ \mathbb{R}$ n'appartenant pas à $ T$.

Alors $ \{f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}/ \vert f(x)\vert<\epsilon \}$ est un ouvert, qui n'est manifestement inclus dans aucun $ V_n$.

Il est à noter que $ \{0,1\}^\mathbb{R}$ convient aussi.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition

Une topologie métrisable est entièrement caractérisée par les propriétés de convergence de suites.

C'est à dire que si pour deux topologies métrisables, les suites convergentes sont les mêmes et ont mêmes limites, alors ces deux topologies sont égales.


Démonstration: Il suffit de voir que l'on caractérise un fermé $ F$ d'un métrique par le fait qu'il contient les limites de toute suite convergente d'éléments de $ F$. Donc les fermés sont caractérisés par les propriétés de convergence de suite, et donc les ouverts aussi par passage au complémentaire.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ \bullet $Si deux distance $ d_1$ et $ d_2$ sont équivalentes alors $ d_1$ et $ d_2$ définissent la même topologie.

$ \bullet $on peut avoir la même topologie sans avoir cette relation.

Démonstration: Le premier $ \bullet $est facile, le second s'obtient en considérant $ d'(x,y)=min(1,d(x,y))$, avec $ d$ une distance quelconque non bornée.$ \sqcap$$ \sqcup$
Il est intéressant de noter que même en ajoutant une condition à l'équivalence traduisant que l'on peut se limiter aux "petites" distances, on a un contre-exemple avec par exemple $ d_{1/2}$ et $ d_1$ qui définissent la même topologie sans être Lipschitz-équivalentes, même sur les petites distances.
On peut aussi noter que les $ d_p$ pour $ p \geq 1$ sont Lipchitz-équivalentes entre elles, cela se montre par $ d_\infty \leq d_p \leq n^{1/p} d_\infty$

Dans la suite $ \mathbb{K}$ désigne un des deux corps $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$ muni de sa topologie usuelle.

Définition [Norme] Soit $ E$ un espace vectoriel sur le corps $ \mathbb{K}$, avec $ \mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $ \mathbb{K}=\mathbb{C}$. Une norme sur $ E$ est une application $ \parallel . \parallel$ de $ E$ dans $ [0,+\infty[$ vérifiant:
$ \bullet $ $ \parallel x \parallel = 0$ si et seulement si $ x=0$
$ \bullet $ $ \forall x,y \in E$, on a $ \parallel x + y \parallel \leq \parallel x \parallel + \parallel y \parallel$
$ \bullet $ $ \forall \lambda \in \mathbb{K}$ $ \forall x \in E$ on a $ \parallel \lambda . x \parallel = \vert \lambda \vert \parallel x \parallel$
S'il ne manque que la première propriété, on parle de semi-norme.
On appelle vecteur unitaire un vecteur $ x$ tel que $ \parallel x \parallel=1$.
Un espace muni d'une norme est appelé espace normé ou espace vectoriel normé.
Dans un espace normé une série $ (\sum x_n)$ est dite normalement convergente si $ \sum_{i=1}^n {\parallel}x_i {\parallel}$ converge.
Enfin une définition nécessitant la notion de continuité (définie ultérieurement): on appelle isomorphisme de l'espace vectoriel normé $ E$ dans l'espace vectoriel normé $ F$ une application linéaire continue bijective de réciproque continue (c'est à dire qu'il s'agit d'un morphisme algébrique (i.e. au sens des espaces vectoriels ) et d'un homéomorphisme).

Exemples:
$ \bullet $Sur $ \mathbb{R}^n$, les applications suivantes sont des normes:
- $ (x_1,...,x_n) \mapsto {\parallel}x {\parallel}_\infty = max_{i\in \{1,...,n\}} \vert x_i\vert$
- pour $ p$ réel $ \geq 1$, $ x \mapsto {\parallel}x {\parallel}_p=(\sum_{i\in\{1,...,n\}} \vert x_i\vert^p)^{1/p}$ $ \bullet $Un peu plus difficile: sur $ \mathbb{R}[X]$, les applications suivantes sont des normes:
- $ P \mapsto {\parallel}P {\parallel}_0=sup_{x\in[0,1]} \vert P(x)\vert$
- $ P \mapsto {\parallel}P {\parallel}_1=\int_0^1\vert P(t)dt$

Propriétés:
$ \bullet $La norme est convexe.

Définition [Distance associée] Etant donnée une norme on définit une distance associée par $ d(x,y)=\parallel x - y \parallel$

Définition [Normes équivalentes] Deux normes $ \parallel . \parallel_1$ et $ \parallel . \parallel_2$ sur un même espace vectoriel sont équivalentes si il existe $ \alpha ,\beta > 0$ tels que $ \alpha .\parallel x \parallel_1 < \parallel x \parallel_2 < \beta .\parallel x \parallel_1$

Théorème Deux normes sont équivalentes si et seulement si elles définissent la même topologie.
Démonstration: L'une des deux implications résulte de [*]. L'autre s'obtient facilement, l'une des deux inégalités après l'autre, en constatant qu'une boule de centre 0 et de rayon $ 1$ pour l'une des normes contient une boule pour l'autre norme.$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

... constante1.1
La notion est indépendante du point $ e$ choisi, grâce à l'inégalité triangulaire.
...\space 1.2
On dit aussi que $ d_1$ et $ d_2$ sont Lipschitz-équivalentes.
... lipschitzien1.3
Une application est dite bilipschitzienne si elle est lipschitzienne et d'inverse lipschitzien.

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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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