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Notion de voisinage

Définition [Voisinage] Soit $ X$ un espace topologique. Un voisinage $ V$ de $ x \in X$ est un ensemble tel qu'il existe un ouvert $ U$ avec $ x\in U \subset V$.
On note par $ {\cal V}(x)$ l'ensemble des voisinages de $ x$.

Proposition Un sous-ensemble d'un espace topologique est ouvert si et seulement si il est un voisinage de chacun de ses points.

Démonstration:

$ \bullet $Soit un ouvert $ U$, et $ x$ dans $ U$. On a $ x \in U \subset U$... Donc $ U$ est voisinage de $ x$.

$ \bullet $Soit $ U$ voisinage de chacun de ses points. A chaque point $ x$ associons l'ouvert $ U_x$ tel que $ x\in U_x \in U$. La réunion des $ U_x$ est un ouvert, contient tous les $ x$ de $ U$ et est incluse dans $ U$; c'est donc $ U$. Donc $ U$ est un ouvert. $ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ \bullet $Si $ x \in X$, $ X$ espace topologique, et $ V \subset V'$, et $ V \in {\cal V}(x)$, alors $ V' \in {\cal V}(x)$.
$ \bullet $pour tout $ V,V' \in {\cal V}(x)$, alors $ V \cap V' \in {\cal V}(x)$

Démonstration: $ \bullet $$ V$ contient par définition un ouvert contenant $ x$; $ V$ étant inclus dans $ V'$, $ V'$ contient ce même ouvert. Donc $ V'$ est un voisinage de $ x$.

$ \bullet $$ V$ et $ V'$ contiennent chacun un ouvert contenant $ x$; l'intersection de ces deux ouverts est un ouvert, contient $ x$ et est inclus dans $ V \cap V'$; donc $ V \cap V'$ est un voisinage de $ x$. $ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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