Fermeture, intérieur, extérieur, frontière

Définition [Fermeture ou adhérence] Si , l'adhérence (dite aussi fermeture) de est l'intersection de tous les fermés contenant , c'est donc le plus petit fermé contenant . On note l'adhérence de .

Propriété:
, parties de ; alors et .

Définition [Point d'accumulation d'une partie] On appelle point d'accumulation d'une partie un point adhérent à .
On appelle ensemble dérivé de l'ensemble des points d'accumulation de .

Propriété:
Un ensemble dérivé dans un espace séparé est toujours un fermé.

Lemme Si est une partie de l'espace topologique , on a l'équivalence suivante:

Démonstration: Il suffit de constater les points suivants:
si et seulement si on peut trouver un fermé contenant et ne contenant pas .
On considère le complémentaire de .

Définition [Ensemble dense] Un sous-ensemble de est dense dans si son adhérence est .

La densité sera utilisée dans les théorèmes de prolongement, prolongement des identités, prolongement de fonctions uniformément continues (capital par exemple pour le théorème de Plancherel, cité dans la partie et démontré dans [16]). Le prolongement de fonctions continues servira aussi à construire des solutions maximales d'équations différentielles (voir théorème de Cauchy-Lipschitz ). On pourra aussi voir l'exercice ?? référence selon lequel tout espace métrique complet connexe localement connexe est connexe par arcs.

La densité servira aussi pour prouver le théorème d'Arzéla-Ascoli , le théorème de Moore (voir livre ??), l'inégalité de Hardy (voir livre [2]).

De nombreux résultats de densité dans les Banach auront de vastes applications; il y a déjà toutes les applications du théorème de Baire (théorème de l'application ouverte, théorème du graphe fermé, théorème d'isomorphisme de Banach, que l'on trouvera tous à la suite du théorème de Baire ). On pourra enfin consulter le théorème de Goldstine, dans le livre ??.

Par ailleurs, la séparabilité est par définition liée à la densité, voir la définition et la liste d'applications qui y est donnée.

Enfin, certains résultats de densité seront fondamentaux pour de multiples applications pratique (approximation): on pourra consulter le chapître . Cela servira par exemple pour la transformée de Fourier - en fait les bases hilbertiennes sont basées sur la densité.

N'oublions pas aussi de petits résultats dus à la densité de dans : le fait que tout ouvert de s'exprime comme union dénombrable d'intervalles ouverts.

Proposition est dense dans si et seulement si tout ouvert non vide intersecte .

Démonstration: Cela résulte directement du lemme ci-dessus.

Définition [Intérieur] L'intérieur du sous-ensemble de l'espace topologique , noté , est la réunion de tous les ouverts inclus dans , c'est donc le plus grand ouvert contenu dans .

Propriétés:
, inclus dans ; alors et . Si deux ouverts sont disjoints, alors les intérieurs de leurs adhérences sont disjoints.
(ie ).

Proposition Le point est dans si et seulement si
Le point est dans si et seulement s'il existe avec

Démonstration: Je ne vous ferai pas l'injure de le démontrer.

Définition [Extérieur] L'extérieur de , noté , est l'intérieur du complémentaire de .

Proposition

Démonstration: Evident.

Définition [Frontière] La frontière de , notée est son adhérence privée de son intérieur.

Propriété: .

Proposition Un ensemble est à la fois ouvert et fermé si et seulement si sa frontière est vide.

Démonstration:

Soit cet ensemble. Comme est fermé, il est égal à son adhérence, et comme il est ouvert, il est égal à son intérieur, donc sa frontière, égale à son adhérence privée de son intérieur, est vide.

Réciproquement, si la frontière de est vide, et s'il est non vide, cela signifie que son intérieur est au moins égal à , donc qu'il est ouvert. Et si sa frontière est vide, cela signifie que son adhérence ne peut pas être plus grande que lui, donc il est fermé.

Théorème


est réunion disjointe de son intérieur, son extérieur et sa frontière.

Démonstration: Chacune de ces propriétés se démontre en deux lignes, simplement en écrivant bien formellement ce que l'on cherche à démontrer.