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Fermeture, intérieur, extérieur, frontière

Définition [Fermeture ou adhérence] Si $ A \subset X$, l'adhérence (dite aussi fermeture) de $ A$ est l'intersection de tous les fermés contenant $ A$, c'est donc le plus petit fermé contenant $ A$. On note $ \overline A$ l'adhérence de $ A$.

Propriété:
$ A$, $ B$ parties de $ X$; alors $ \overline {A \cup B}=\overline A \cup \overline B$ et $ \overline {A\cap B} \subset \overline A \cap \overline B$.

Définition [Point d'accumulation d'une partie] On appelle point d'accumulation d'une partie $ A$ un point $ x$ adhérent à $ A\setminus \{x\}$.
On appelle ensemble dérivé de $ A$ l'ensemble des points d'accumulation de $ A$.

Propriété:
Un ensemble dérivé dans un espace séparé est toujours un fermé.

Lemme Si $ A$ est une partie de l'espace topologique $ X$, on a l'équivalence suivante:

$\displaystyle x\in \overline A \iff \forall V \in {\cal V}(x), V \cap A \neq \emptyset$


Démonstration: Il suffit de constater les points suivants:
$ \bullet $ $ y \not \in \overline A$ si et seulement si on peut trouver un fermé $ F$ contenant $ A$ et ne contenant pas $ y$.
$ \bullet $On considère le complémentaire de $ F$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Ensemble dense] Un sous-ensemble de $ X$ est dense dans $ X$ si son adhérence est $ X$.

Application(s)... La densité sera utilisée dans les théorèmes de prolongement, prolongement des identités, prolongement de fonctions uniformément continues (capital par exemple pour le théorème de Plancherel, cité dans la partie [*] et démontré dans [16]). Le prolongement de fonctions continues servira aussi à construire des solutions maximales d'équations différentielles (voir théorème de Cauchy-Lipschitz [*]). On pourra aussi voir l'exercice ?? référence selon lequel tout espace métrique complet connexe localement connexe est connexe par arcs.

La densité servira aussi pour prouver le théorème d'Arzéla-Ascoli [*], le théorème de Moore (voir livre ??), l'inégalité de Hardy (voir livre [2]).

De nombreux résultats de densité dans les Banach auront de vastes applications; il y a déjà toutes les applications du théorème de Baire [*] (théorème de l'application ouverte, théorème du graphe fermé, théorème d'isomorphisme de Banach, que l'on trouvera tous à la suite du théorème de Baire [*]). On pourra enfin consulter le théorème de Goldstine, dans le livre ??.

Par ailleurs, la séparabilité est par définition liée à la densité, voir la définition [*] et la liste d'applications qui y est donnée.

Enfin, certains résultats de densité seront fondamentaux pour de multiples applications pratique (approximation): on pourra consulter le chapître [*]. Cela servira par exemple pour la transformée de Fourier - en fait les bases hilbertiennes sont basées sur la densité.

N'oublions pas aussi de petits résultats dus à la densité de $ \mathbb{Q}$ dans $ \mathbb{R}$: le fait que tout ouvert de $ \mathbb{R}$ s'exprime comme union dénombrable d'intervalles ouverts.

Proposition $ A$ est dense dans $ X$ si et seulement si tout ouvert non vide intersecte $ A$.

Démonstration: Cela résulte directement du lemme ci-dessus.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Intérieur] L'intérieur du sous-ensemble $ A$ de l'espace topologique $ X$, noté $ Int(A)$, est la réunion de tous les ouverts inclus dans $ A$, c'est donc le plus grand ouvert contenu dans $ A$.

Propriétés:
$ \bullet $$ A$, $ B$ inclus dans $ X$; alors $ Int (A \cup B)=Int A \cup Int B$ et $ Int (A \cap B)=Int A \cap Int B$. $ \bullet $Si deux ouverts sont disjoints, alors les intérieurs de leurs adhérences sont disjoints.
$ \bullet $ $ Int (X \setminus A)=X \setminus \overline A$ (ie $ Int A=X\setminus \overline (X\setminus A)$).

Proposition Le point $ x$ est dans $ Int(A)$ si et seulement si $ A \in {\cal V}(x)$
Le point $ x$ est dans $ Int(A)$ si et seulement s'il existe $ V \in {\cal V}(x)$ avec $ V \subset A$

Démonstration: Je ne vous ferai pas l'injure de le démontrer.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Extérieur] L'extérieur de $ A$, noté $ Ext(A)$, est l'intérieur du complémentaire de $ A$.

Proposition $ Ext(A)=\{ x \vert \exists V \in {\cal V}(x) / V \cap A = \emptyset\}$

Démonstration: Evident.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Frontière] La frontière de $ A$, notée $ Fr(A)$ est son adhérence privée de son intérieur.

Propriété: $ Fr(A)=\overline A \cap \overline {X\setminus A}$.

Proposition Un ensemble est à la fois ouvert et fermé si et seulement si sa frontière est vide.

Démonstration:

$ \bullet $Soit $ A$ cet ensemble. Comme $ A$ est fermé, il est égal à son adhérence, et comme il est ouvert, il est égal à son intérieur, donc sa frontière, égale à son adhérence privée de son intérieur, est vide.

$ \bullet $Réciproquement, si la frontière de $ A$ est vide, et s'il est non vide, cela signifie que son intérieur est au moins égal à $ A$, donc qu'il est ouvert. Et si sa frontière est vide, cela signifie que son adhérence ne peut pas être plus grande que lui, donc il est fermé.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème $ \bullet $ $ Int(A)=\{x \in X \vert \exists V \in {\cal V}(x), V \cap X \setminus A = \emptyset\}$
$ \bullet $ $ Ext(A)=\{x \in X \vert \exists V \in {\cal V}(x), V \cap A = \emptyset\}$
$ \bullet $ $ Fr(A)=\{x \in X \vert \not \exists V \in {\cal V}(x), V \cap A = \emptyset \lo...
...\cal V}(x), V\cap A\neq \emptyset \land V \cap (X\setminus A) \neq \emptyset \}$
$ X$ est réunion disjointe de son intérieur, son extérieur et sa frontière.

Démonstration: Chacune de ces propriétés se démontre en deux lignes, simplement en écrivant bien formellement ce que l'on cherche à démontrer.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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