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Base d'ouverts et base de voisinages

Définition [Base d'ouverts] Soit $ X$ un espace topologique. Une famille $ {\cal B}$ d'ouverts de $ X$ est une base d'ouverts si tout ouvert est une réunion d'éléments de $ {\cal B}$.

Proposition Une famille $ {\cal B}$ d'ouverts est une base d'ouverts si et seulement si quel que soit l'ouvert $ U$ et $ x \in U$ il existe $ V \in {\cal B}$ tel que $ x \in V \subset U$.

Démonstration: Si $ {\cal B}$ est une base d'ouverts, alors étant donnés $ x$ et $ U$, on considère un élément $ V$ de $ {\cal B}$ qui contient $ x$; la réciproque se fait en considérant pour un ouvert donné la réunion des $ V$ obtenus par la propriété en considérant les différents $ x$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ \bullet $Dans un espace métrique, les boules ouvertes de rayon rationnel forment une base d'ouverts

$ \bullet $Dans le cas de $ \mathbb{R}^n$ muni de la métrique usuelle, les boules ouvertes de rayon rationnel et à coordonnées toutes rationnelles forment une base dénombrable d'ouverts

$ \bullet $Dans $ \mathbb{R}$ tout ouvert est en fait une réunion dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints (et réciproquement).

$ \bullet $Dans $ \mathbb{R}$ un fermé n'est pas nécessairement une réunion dénombrable d'intervalles fermés deux à deux disjoints, et une réunion dénombrable d'intervalles fermés deux à deux disjoints n'est pas nécessairement fermée.


Démonstration:

$ \bullet $Soit $ U$ un ouvert d'un espace métrique, et $ x$ dans $ U$; on montre que $ U$ contient une boule de rayon rationnel contenant $ x$. Pour cela on note que $ U$ est réunion de boules ouvertes, donc contient au moins une boule ouverte $ B$ de rayon $ r$ et de centre $ O$ contenant $ x$; on note alors $ r'$ la distance de $ x$ à $ O$; toute boule ouverte centrée en $ x$ de rayon rationnel inférieur à $ r-r'$ convient (on peut aussi choisir de raisonner sur les boules centrées sur $ O$ de rayon adéquat...).

$ \bullet $Soit $ U$ un ouvert de $ \mathbb{R}^n$, et $ x$ un point de $ U$. On considère une boule ouverte contenant $ x$ et incluse dans $ U$; soit $ O$ son centre et $ r$ son rayon. Alors soit $ r'$ la distance de $ x$ à $ O$, et $ y$ un point de coordonnées rationnelles situé à une distance $ d$ inférieure à $ \frac{r-r'}3$ de $ O$. Alors toute boule centrée sur $ y$ de rayon rationnel compris entre $ r'+\frac{r-r'}3$ et $ r'+2.\frac{r-r'}3$ convient.

$ \bullet $En plusieurs points:

- Soit $ U$ un ouvert de $ \mathbb{R}$; alors étant donné un rationnel de $ U$ on considère l'intervalle maximal le contenant. On parcourt ainsi tout $ U$, et on a bien un ensemble dénombrable d'intervalles ouverts.

- Une réunion d'ouverts est toujours un ouvert.

$ \bullet $Deux contre-exemples:

- le cantor $ K^3$ (voir partie [*]) n'est pas une réunion dénombrable d'intervalles fermés disjoints.

- l'ensemble des $ 1/n$ est une réunion dénombrable d'intervalles fermés disjoints, mais n'est pas fermé. $ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Base dénombrable d'ouverts] $ X$ est à base dénombrable d'ouverts si on peut trouver une base d'ouverts qui soit dénombrable.

Proposition Un espace à base dénombrable d'ouverts contient un ensemble dénombrable dense

Démonstration: Il suffit de considérer un point par ouvert non vide d'une base dénombrable.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Espace séparable] Un espace est séparable si il contient un ensemble dénombrable dense.

Application(s)... Cela sera notamment utile pour définir une métrique sur la boule unité fermée du dual d'un espace séparable (pour la topologie faible). Ceux qui veulent en savoir plus peuvent aller voir la proposition [*].

On note en particulier qu'un ensemble à base dénombrable d'ouverts est séparable (il suffit de prendre un point dans chaque ouvert); il s'agit de la proposition précédente. La réciproque est vraie dans le cas des espaces métriques:

Théorème Un espace métrique est séparable si et seulement s'il admet une base dénombrable d'ouverts.
Application(s)... Ce résultat permettra de conclure que tout espace métrique compact admet une base dénombrable d'ouverts (voir résultat [*]) et d'en déduire que tout espace métrique compact est de cardinal au plus la puissance du continu (voir résultat [*]).

Démonstration: La remarque précédente donne l'un des deux sens. Réciproquement supposons que $ X$ soit métrique séparable. Soit $ \{x_n / n \in \mathbb{N}\}$ un ensemble dense dénombrable. Alors l'ensemble des boules de centre $ x_i$ et de rayon $ 1/j$ avec $ (i,j) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}^*$ est une base dénombrable d'ouverts.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Base de voisinages] Soit $ x \in X$, une famille $ {\cal B}(x)$ de voisinages de $ x$ est une base de voisinages de $ x$ si pour tout $ V \in {\cal V}(x)$ il existe $ V' \in {\cal B}(x)$ avec $ V' \subset V$.

Définition Un espace est à base dénombrable de voisinages si chacun de ses points admet une base dénombrable de voisinages.

Exercice 2   Tout espace métrique est à base dénombrable de voisinages.

Démonstration: Il suffit de considérer les boules de rayon $ 1/i$ de centre $ x$ pour avoir une base dénombrable de voisinages de $ x$.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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