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Continuité et limite

Définition [Continuité ponctuelle] Soit $ f$ une application entre espaces topologiques. $ f$ est continue en $ x$ si et seulement si quel que soit $ V \in {\cal V}(f(x))$, l'image réciproque $ f^{-1}(V)$ est un voisinage de $ x$ (ie si $ \exists U \in {\cal V}(X) / f(U) \subset U$).
$ f$ est continue si $ f$ est continue en tout point.

Exemples:
$ \bullet $La distance est continue (en vertu de la propriété $ \vert d(x,z)-d(y,z)\vert \leq d(x,y)$).
$ \bullet $La norme est continue (comme composée d'applications continues, puisque $ x \mapsto (x,x)$ est continue, et $ (x,y)\mapsto d(x,y)$ est continue, avec $ d$ la distance associée à la norme.
$ \bullet $La multiplication par un scalaire et l'addition sont continues pour la topologie associée à la norme.

Définition [Semi-continuité] Une application $ f$ de $ X$ dans $ \mathbb{R}$ est semi-continue inférieurement si pour tout $ c$ on a $ f^{-1}(]c,+\infty[)$ ouvert.
Une application $ f$ de $ X$ dans $ \mathbb{R}$ est semi-continue supérieurement si pour tout $ c$ on a $ f^{-1}(]-\infty,c[)$ ouvert.

Proposition

$ \bullet $Une fonction à valeurs dans $ \mathbb{R}$ est continue si et seulement si elle est à la fois semi-continue inférieurement et semi-continue supérieurement.
$ \bullet $La borne $ sup$ d'une famille de fonctions semi-continues inférieurement est semi-continue inférieurement.
$ \bullet $La fonction caractéristique d'un ouvert (resp. fermé) est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement).

Théorème [Stabilité de la continuité par composition] Si $ f$ est continue en $ x$ et si $ g$ est continue en $ f(x)$, alors $ g \circ f$ est aussi continue en $ x$.

Démonstration: L'image réciproque d'un voisinage de $ g(f(x))$ est un voisinage de $ f(x)$, l'image réciproque d'un voisinage de $ f(x)$ par $ f$ est un voisinage de $ x$, donc l'image réciproque d'un voisinage de $ g\circ f(x)$ par $ g \circ f$ est un voisinage de $ x$. D'où la continuité de $ g \circ f$ en $ x$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Si $ f$ et $ g$ sont continues, alors $ g \circ f$ est continue.

Démonstration: L'image réciproque d'un ouvert par $ f$ est un ouvert, l'image réciproque d'un ouvert par $ g$ est un ouvert, donc l'image réciproque par $ g \circ f$ est un ouvert.$ \sqcap$$ \sqcup$
(on peut aussi simplement utiliser le théorème [*])

Proposition Soit $ {\cal B}$ une base de voisinages de $ f(x)$.
$ f$ est continue en $ x$ si et seulement si quel que soit $ V \in {\cal B}$, $ f^{-1}(B) \in V(x)$.

Démonstration: Soit un voisinage $ U$ de $ f(x)$, il contient un certain $ V$ appartenant à $ {\cal B}$. L'image réciproque de $ V$ étant un voisinage de $ x$, l'image réciproque de $ U$ contient $ V$ et est donc aussi un voisinage de $ x$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Les assertions suivantes sont équivalentes:
$ \bullet $$ f$ est continue
$ \bullet $Pour tout ouvert $ U$, $ f^{-1}(U)$ est un ouvert de $ X$.
$ \bullet $Pour tout fermé $ F$, $ f^{-1}(F)$ est un fermé de $ X$.
$ \bullet $Pour tout ouvert $ V \in {\cal B}$, avec $ {\cal B}$ une base d'ouverts, $ f^{-1}(V)$ est ouvert
$ \bullet $Pour tout $ A$, $ f(\overline A) \subset \overline {f(A)}$

Démonstration: L'équivalence entre les 4 premières assertions est claire. La cinquième assertion est une conséquence facile de la continuité de $ F$ (il suffit de voir qu'elle équivaut à $ \overline A \subset f^{-1}(\overline {f(A)})$ et de rappeler que l'adhérence de $ A$ est l'intersection de tous les fermés contenant $ A$). Réciproquement, en supposant la cinquième assertion vraie, on montre facilement que tout fermé $ F$ de l'image de $ f$ vérifie $ f^{-1}(F)$ fermé. Il suffit de voir alors que $ f$ est continue de $ X$ vers $ Y$ si et seulement si elle est continue en tant que restriction de $ X$ sur $ f(X)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... On peut noter alors que si $ f$ est une application de $ X$ dans $ Y$, alors si $ X$ est muni de la topologie discrète (topologie égale à l'ensemble des parties de $ X$) ou si $ Y$ est muni de la topologie grossière (topologie limitée à $ \{ \emptyset, Y \}$) alors $ f$ est nécessairement continue.

Définition [Limite] Soit $ f:X \setminus \{x_0\} \rightarrow Y$, avec $ x_0 \in X$. On dit que $ y$ est une limite de $ f$ en $ x_0$, si pour tout voisinage $ V$ de $ y$ dans $ Y$, la réunion $ f^{-1}(V) \cup \{x_0\}$ est un voisinage de $ x_0$.

Proposition Les propriétés suivantes sont équivalentes au fait que $ l$ soit limite de $ x_n$:
$ \bullet $pour tout voisinage $ V$ de $ l$, il existe un nombre fini de $ x_n$ en dehors de $ V$.
$ \bullet $Dans le cas où l'espace est métrique: la distance de $ x_n$ à $ c$ tend vers 0.

Lemme $ f$ est continue en $ x_0$ si et seulement si $ f(x_0)$ est limite de $ f_{\vert X \setminus \{x_0\}}$ en $ x_0$.

Démonstration: Faisable sans trop de difficultés.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Point isolé] $ x_0$ est isolé si et seulement si $ \{ x_0 \}$ est ouvert.
Un espace topologique est dit discret si tous ses éléments sont des points isolés.

Lemme Le point $ x_0$ n'est pas isolé si et seulement si $ V\setminus\{x_0\}\neq \emptyset$, pour tout $ V\in {\cal V}(x_0)$, et encore si et seulement si $ x_0 \in \overline {X \setminus \{x_0\}}$.

Démonstration: Clair.$ \sqcap$$ \sqcup$

Un problème est la non-unicité de la limite, a priori. Nous avons donc besoin de la notion d'espace séparé, que l'on définira un peu plus loin.

Définition [Homéomorphisme] Un homéomorphisme est une application bijective continue et de réciproque continue.

Exercice 3 (Quelques propriétés des homéomorphismes.)  

$ \bullet $L'identité est un homéomorphisme.
$ \bullet $Une composition d'homéomorphisme est un homéomorphisme.
$ \bullet $Sur un espace normé, la translation et l'homothétie de rapport non nul sont des homéomorphismes.
$ \bullet $L'ensemble des homéomorphismes de $ X$ vers $ X$ est un sous-groupe de l'ensemble des bijections de $ X$ vers $ X$.

Démonstration: Rien de difficile dans tout ça; notons que la réciproque d'une homothétie est une homothétie, et qu'une homothétie est continue parce que les opérations algébriques sont continues (voir proposition [*]). $ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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