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Définition [Continuité ponctuelle] Soit

une application entre espaces topologiques

est continue en si et seulement si quel que soit $V \in {\cal V}(f(x))$

, l'image réciproque $f^{-1}(V)$ est un voisinage de

(ie si $\exists U \in {\cal V}(X) / f(U) \subset U$ ).

est continue si

est continue en tout point.

Exemples:
$\bullet$ La distance

est continue (en vertu de la propriété $\vert d(x,z)-d(y,z)\vert \leq d(x,y)$ ).
$\bullet$ La norme

est continue (comme composée d'applications continues

, puisque $x \mapsto (x,x)$ est continue, et $(x,y)\mapsto d(x,y)$ est continue, avec

la distance associée à la norme

.
$\bullet$ La multiplication par un scalaire et l'addition sont continues pour la topologie associée à la norme.

Définition [Semi-continuité] Une application

dans $\mathbb{R}$ est semi-continue inférieurement si pour tout

on a $f^{-1}(]c,+\infty[)$ ouvert.
Une application

dans $\mathbb{R}$ est semi-continue supérieurement si pour tout

on a $f^{-1}(]-\infty,c[)$ ouvert.

$\bullet$ Une fonction à valeurs dans $\mathbb{R}$ est continue

si et seulement si elle est à la fois semi-continue inférieurement et semi-continue supérieurement

.
$\bullet$ La borne

d'une famille de fonctions semi-continues inférieurement est semi-continue inférieurement.
$\bullet$ La fonction caractéristique d'un ouvert (resp. fermé) est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement).

Théorème [Stabilité de la continuité par composition] Si

est continue

et si

est continue en

, alors $g \circ f$ est aussi continue en

Démonstration: L'image réciproque d'un voisinage de

est un voisinage de

, l'image réciproque d'un voisinage de

par

est un voisinage de

, donc l'image réciproque d'un voisinage de $g\circ f(x)$ par $g \circ f$ est un voisinage de

. D'où la continuité de $g \circ f$ en

. $\sqcap$ $\sqcup$

Démonstration: L'image réciproque d'un ouvert par

est un ouvert, l'image réciproque d'un ouvert par

est un ouvert, donc l'image réciproque par $g \circ f$ est un ouvert. $\sqcap$ $\sqcup$
(on peut aussi simplement utiliser le théorème

)

Proposition Soit ${\cal B}$ une base de voisinages

est continue en

si et seulement si quel que soit $V \in {\cal B}$ , $f^{-1}(B) \in V(x)$ .

Démonstration: Soit un voisinage

, il contient un certain

appartenant à ${\cal B}$ . L'image réciproque de

étant un voisinage de

, l'image réciproque de

contient

et est donc aussi un voisinage de

. $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème Les assertions suivantes sont équivalentes:
$\bullet$

est continue

$\bullet$ Pour tout ouvert

, $f^{-1}(U)$ est un ouvert de

.
$\bullet$ Pour tout fermé

, $f^{-1}(F)$ est un fermé

.
$\bullet$ Pour tout ouvert $V \in {\cal B}$ , avec ${\cal B}$ une base d'ouverts

, $f^{-1}(V)$ est ouvert
$\bullet$ Pour tout

, $f(\overline A) \subset \overline {f(A)}$

Démonstration: L'équivalence entre les 4 premières assertions est claire. La cinquième assertion est une conséquence facile de la continuité de

(il suffit de voir qu'elle équivaut à $\overline A \subset f^{-1}(\overline {f(A)})$ et de rappeler que l'adhérence de

est l'intersection de tous les fermés contenant

)

. Réciproquement, en supposant la cinquième assertion vraie, on montre facilement que tout fermé

de l'image de

vérifie $f^{-1}(F)$ fermé. Il suffit de voir alors que

est continue de

vers

si et seulement si elle est continue en tant que restriction de

sur

. $\sqcap$ $\sqcup$

On peut noter alors que si

est une application de

dans

, alors si

est muni de la topologie discrète (topologie égale à l'ensemble des parties de

) ou si

est muni de la topologie grossière (topologie limitée à $\{ \emptyset, Y \}$ ) alors

est nécessairement continue.

Définition [Limite] Soit $f:X \setminus \{x_0\} \rightarrow Y$ , avec $x_0 \in X$ . On dit que

est une limite de

, si pour tout voisinage

dans

, la réunion $f^{-1}(V) \cup \{x_0\}$ est un voisinage

Proposition Les propriétés suivantes sont équivalentes au fait que

soit limite de

:
$\bullet$ pour tout voisinage

, il existe un nombre fini de

en dehors de

.
$\bullet$ Dans le cas où l'espace est métrique

: la distance de

tend vers 0.

Lemme

est continue en

si et seulement si

est limite de $f_{\vert X \setminus \{x_0\}}$ en

Définition [Point isolé]

est isolé si et seulement si $\{ x_0 \}$ est ouvert

.
Un espace topologique est dit discret si tous ses éléments sont des points isolés.

Lemme Le point

n'est pas isolé

si et seulement si $V\setminus\{x_0\}\neq \emptyset$ , pour tout $V\in {\cal V}(x_0)$

, et encore si et seulement si $x_0 \in \overline {X \setminus \{x_0\}}$

Un problème est la non-unicité de la limite, a priori. Nous avons donc besoin de la notion d'espace séparé, que l'on définira un peu plus loin.

Définition [Homéomorphisme] Un homéomorphisme est une application bijective continue

et de réciproque continue.

Exercice 3 (Quelques propriétés des homéomorphismes.)

$\bullet$ L'identité est un homéomorphisme.
$\bullet$ Une composition d'homéomorphisme est un homéomorphisme.
$\bullet$ Sur un espace normé, la translation et l'homothétie de rapport non nul sont des homéomorphismes.
$\bullet$ L'ensemble des homéomorphismes de vers est un sous-groupe de l'ensemble des bijections de vers .

Continuité et limite