Définition [Continuité ponctuelle]
Soit une application entre espaces topologiques. est continue en si et seulement si quel que soit
, l'image réciproque est un voisinage de (ie si
).
est continue si est continue en tout point.
Exemples:
La distance est continue (en vertu de la propriété
).
La norme est continue (comme composée d'applications continues, puisque
est continue, et
est continue, avec la distance associée à la norme.
La multiplication par un scalaire et l'addition sont continues pour la topologie associée à la norme.
Définition [Semi-continuité]
Une application de dans
est semi-continue inférieurement si pour tout on a
ouvert.
Une application de dans
est semi-continue supérieurement si pour tout on a
ouvert.
Proposition
Une fonction à valeurs dans
est continue si et seulement si elle est à la fois semi-continue inférieurement et semi-continue supérieurement.
La borne d'une famille de fonctions semi-continues inférieurement est semi-continue inférieurement.
La fonction caractéristique d'un ouvert (resp. fermé) est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement).
Théorème [Stabilité de la continuité par composition]
Si est continue en et si est continue en , alors
est aussi continue en .
Démonstration:L'image réciproque d'un voisinage de est un voisinage de , l'image réciproque d'un voisinage de par est un voisinage de , donc l'image réciproque d'un voisinage de
par est un voisinage de . D'où la continuité de en .
Corollaire
Si et sont continues, alors est continue.
Démonstration:L'image réciproque d'un ouvert par est un ouvert, l'image réciproque d'un ouvert par est un ouvert, donc l'image réciproque par est un ouvert. (on peut aussi simplement utiliser le théorème )
Proposition
Soit une base de voisinages de .
est continue en si et seulement si quel que soit
,
.
Démonstration:Soit un voisinage de , il contient un certain appartenant à . L'image réciproque de étant un voisinage de , l'image réciproque de contient et est donc aussi un voisinage de .
Théorème
Les assertions suivantes sont équivalentes:
est continue Pour tout ouvert , est un ouvert de .
Pour tout fermé , est un fermé de .
Pour tout ouvert
, avec une base d'ouverts,
est ouvert
Pour tout ,
Démonstration:L'équivalence entre les 4 premières assertions est
claire.
La cinquième assertion est une conséquence facile de la continuité de (il suffit de voir
qu'elle équivaut à
et de rappeler que l'adhérence de est l'intersection de tous les fermés contenant ). Réciproquement, en supposant
la cinquième assertion vraie, on montre facilement que tout fermé de l'image de vérifie
fermé. Il suffit de voir alors que est continue de vers si et seulement si elle est continue en tant que restriction de sur .
On peut noter alors que si est une application de dans , alors si est muni de la topologie
discrète (topologie égale à l'ensemble des parties de ) ou si est muni de la topologie grossière (topologie limitée à
) alors est nécessairement continue.
Définition [Limite]
Soit
, avec .
On dit que est une limite de en , si pour tout voisinage
de dans , la réunion
est un voisinage
de .
Proposition
Les propriétés suivantes sont équivalentes au fait que soit limite
de :
pour tout voisinage de , il existe un nombre fini de en dehors de .
Dans le cas où l'espace est métrique: la distance de à tend vers 0.
Lemme est continue en si et seulement si est limite de
en .
Démonstration:Faisable sans trop de difficultés.
Définition [Point isolé] est isolé si et seulement si est ouvert.
Un espace topologique est dit discret si tous ses éléments sont des points isolés.
Lemme
Le point n'est pas isolé si et seulement si
, pour tout
, et encore si et seulement si
.
Démonstration:Clair.
Un problème est la non-unicité de la limite, a priori. Nous avons donc besoin de la notion d'espace séparé, que l'on définira un peu plus loin.
Définition [Homéomorphisme]
Un homéomorphisme est une application bijective continue et de réciproque continue.
Exercice 3 (Quelques propriétés des homéomorphismes.)
L'identité est un homéomorphisme.
Une composition d'homéomorphisme est un homéomorphisme.
Sur un espace normé, la translation et l'homothétie de rapport
non nul sont des homéomorphismes.
L'ensemble des homéomorphismes de vers est un sous-groupe
de l'ensemble des bijections de vers .
Démonstration:
Rien de difficile dans tout ça; notons que la réciproque d'une homothétie
est une homothétie, et qu'une homothétie est continue parce que les opérations algébriques sont continues (voir proposition ).