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Espace séparé

Définition [Espace séparé] Un espace est séparé si pour toute paire de points $ (x,y)$ on peut trouver un voisinage de $ x$ et un voisinage de $ y$ disjoints.

Exercice 4  

$ \bullet $Un espace métrique est séparé.
$ \bullet $Une topologie discrète est séparée.

Exercice 5   Tout ensemble fini d'un espace séparé est fermé.

Démonstration: Dans le cas d'un singleton il est clair que le complémentaire est voisinage de chacun de ses points, donc ouvert, par [*]. Le passage à un ensemble fini se voit par les propriétés immédiates des fermés données en [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Soit $ f:X \rightarrow Y$.
Si $ x_0$ n'est pas isolé et si $ Y$ est séparé, alors l'application $ f$ a au plus une limite en $ x_0$.

Démonstration: On considère les voisinages respectifs de deux limites, et on considère l'intersection de leurs images inverses respectives; cette intersection est réduite à un singleton; or c'est un voisinage de $ x_0$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Soient $ f_1$ et $ f_2$ deux applications continues ayant même ensemble de départ et même ensemble séparé d'arrivée. Alors $ \{x \vert f_1(x)=f_2(x)\}$ est fermé.

Attention! L'hypothèse de séparation est nécéssaire (de même que dans le théorème suivant, même contre-exemple); considérer par exemple $ f_1$ et $ f_2$ deux applications de $ \mathbb{R}$ (muni de sa topologie usuelle) dans $ \{0,1\}$ muni de la topologie grossière. $ f_1$ est l'application nulle, $ f_2$ est nulle sauf en 0; $ f_2(0)=1$.

Démonstration: On montre que l'ensemble complémentaire est ouvert. Pour cela on considère $ x$ dans ce complémentaire, et deux voisinages disjoints de $ f_1(x)$ et $ f_2(x)$; l'intersection des images réciproques de ces voisinages est un voisinage de $ x$ qui montre que notre complémentaire est bien un voisinage de $ x$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Si $ f_1$ et $ f_2$ coïncident sur un ensemble dense et ont valeurs dans un espace séparé, alors elle coïncident partout.

Démonstration: Il suffit de se rappeler qu'un fermé est égal à son adhérence, et que l'adhérence d'un ensemble dense est l'espace tout entier.$ \sqcap$$ \sqcup$

Lemme Si $ f$ est continue et injective, et si l'espace d'arrivée est séparé, alors l'espace de départ est aussi séparé.

Application(s)... Ce lemme servira à montrer le théorème [*]

Démonstration: On considère deux points distincts de l'espace de départ, leurs images sont distinctes par l'injectivité, on peut les séparer par deux ouverts, d'images réciproques ouvertes. La suite est triviale. $ \sqcap$$ \sqcup$


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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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