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Quelques résultats utiles

Définition [Nombres conjugués] On dit que deux réels $ p$ et $ q$ sont conjugués si ils sont tous les deux $ >0$ et si

$\displaystyle \frac1p+\frac1q=1$

Lemme Pour $ \alpha \in ]0,1[$ et $ (u,v) \in (\mathbb{R}^+)^2$ on a $ u^\alpha .v^{1-\alpha } \leq \alpha .u + (1-\alpha ).v$
Démonstration: On passe au $ ln$ et le résultat est évident par concavité de $ ln$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Théorème [Inégalités de Hölder] Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions mesurables de $ X$ dans $ \overline {\mathbb{R}^+}$, et soient $ p$ et $ q$ deux réels conjugués, alors

$\displaystyle \int f.g \leq (\int f^p)^{\frac1p}.(\int g^q)^{\frac1q}$

Démonstration: $ \bullet $Posons $ F=(\int f^p)^{\frac1p}$ et $ G=(\int g^q)^{\frac1q}$.
$ \bullet $On peut supposer sans perte de généralité $ F$ et $ G$ finis et non nuls.
$ \bullet $Posons $ u=(\frac{f(x)}F)^p$, $ v=(\frac{g(x)}G)^q$, $ \alpha =\frac1p$, on a $ 1-\alpha =\frac1q$, et donc en appliquant le lemme [*] on obtient

$\displaystyle \frac{f(x).g(x)}{FG} \leq \frac1p \frac{f(x)^p}{F^p}+ \frac1q \frac{g(x)^q}{G^q}$

$ \bullet $En intégrant on obtient

$\displaystyle \frac1{FG} \int fg \leq \frac1p + \frac1q = 1$

Ce qui achève la preuve.$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire [Inégalité de Schwartz] Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions mesurables de $ X$ dans $ \overline {\mathbb{R}}$, alors

$\displaystyle \int \vert f.g\vert \leq \sqrt{\int f^2}.\sqrt{\int g^2}$

Démonstration: Spécialisation du théorème [*] dans le cas $ p=q=2$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Théorème [Inégalité de Minkowski] Soit $ p\in ]1,+\infty[$, et soient $ f$ et $ g$ des fonctions mesurables de $ X$ dans $ [0,+\infty]$.
Alors

$\displaystyle (\int(f+g)^p)^{\frac1p} \leq (\int f^p)^{\frac1p} + (\int g^p)^{\frac1p}$

Démonstration: $ \bullet $Si $ (\int(f+g)^p)^{\frac1p}$ est infinie, alors par convexité de $ x \mapsto x^p$, on peut écrire $ (\frac{f+g}2)^p \leq \frac{f^p+g^p}2$, et donc déduire que l'inégalité annoncée est vraie.
$ \bullet $On suppose maintenant que $ (\int(f+g)^p)^{\frac1p}$ est finie.
$ \bullet $On considère $ q$ conjugué à $ p$.
$ \bullet $Alors par le théorème [*], on peut écrire les deux inégalités suivantes:

$\displaystyle \int f.(f+g)^{p-1} \leq (\int f^p)^{\frac1p}.(\int (f+g)^{(p-1).q})^{\frac1q}$

$\displaystyle \int g.(f+g)^{p-1} \leq (\int g^p)^{\frac1p}.(\int (f+g)^{(p-1).q})^{\frac1q}$

$ \bullet $On additionne et on obtient l'inégalité annoncée.$ \sqcap$$ \sqcup$

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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