Définition [Nombres conjugués]
On dit que deux réels et sont conjugués si ils sont tous les deux
et si
Lemme
Pour
et
on a
Démonstration:On passe au et le résultat est évident par concavité de . Théorème [Inégalités de Hölder]
Soient et deux fonctions mesurables de dans
, et soient et deux
réels conjugués, alors
Démonstration:Posons
et
.
On peut supposer sans perte de généralité et finis
et non nuls.
Posons
,
,
, on a
, et donc en appliquant le lemme on obtient
En intégrant on obtient
Ce qui achève la preuve. Corollaire [Inégalité de Schwartz]
Soient et deux fonctions mesurables de dans
, alors
Démonstration:Spécialisation du théorème dans le cas . Théorème [Inégalité de Minkowski]
Soit
, et soient et des fonctions mesurables
de dans
.
Alors
Démonstration:Si
est infinie, alors par convexité de
,
on peut écrire
, et donc déduire que
l'inégalité annoncée est vraie.
On suppose maintenant que
est finie.
On considère conjugué à .
Alors par le théorème , on peut écrire les deux inégalités suivantes:
On additionne et on obtient l'inégalité annoncée. suivant:Espaces et monter:Espaces et espaces précédent:Espaces et espaces
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