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E. Cartan

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Quelques résultats utiles

Définition [Nombres conjugués] On dit que deux réels

sont conjugués si ils sont tous les deux

et si

$\displaystyle \frac1p+\frac1q=1$

Lemme Pour $\alpha \in ]0,1[$ et $(u,v) \in (\mathbb{R}^+)^2$ on a $u^\alpha .v^{1-\alpha } \leq \alpha .u + (1-\alpha ).v$
Démonstration: On passe au

et le résultat est évident par concavité de

. $\sqcap$ $\sqcup$
Théorème [Inégalités de Hölder] Soient

deux fonctions mesurables

dans $\overline {\mathbb{R}^+}$ , et soient

deux réels conjugués

, alors

$\displaystyle \int f.g \leq (\int f^p)^{\frac1p}.(\int g^q)^{\frac1q}$

Démonstration: $\bullet$ Posons $F=(\int f^p)^{\frac1p}$ et $G=(\int g^q)^{\frac1q}$ .
$\bullet$ On peut supposer sans perte de généralité

finis et non nuls.
$\bullet$ Posons $u=(\frac{f(x)}F)^p$ , $v=(\frac{g(x)}G)^q$ , $\alpha =\frac1p$ , on a $1-\alpha =\frac1q$ , et donc en appliquant le lemme

on obtient

$\displaystyle \frac{f(x).g(x)}{FG} \leq \frac1p \frac{f(x)^p}{F^p}+ \frac1q \frac{g(x)^q}{G^q}$

$\bullet$ En intégrant on obtient

$\displaystyle \frac1{FG} \int fg \leq \frac1p + \frac1q = 1$

Ce qui achève la preuve. $\sqcap$ $\sqcup$
Corollaire [Inégalité de Schwartz] Soient

deux fonctions mesurables de

dans $\overline {\mathbb{R}}$ , alors

$\displaystyle \int \vert f.g\vert \leq \sqrt{\int f^2}.\sqrt{\int g^2}$

Démonstration: Spécialisation du théorème

dans le cas

. $\sqcap$ $\sqcup$
Théorème [Inégalité de Minkowski] Soit $p\in ]1,+\infty[$ , et soient

des fonctions mesurables

dans $[0,+\infty]$ .
Alors

$\displaystyle (\int(f+g)^p)^{\frac1p} \leq (\int f^p)^{\frac1p} + (\int g^p)^{\frac1p}$

Démonstration: $\bullet$ Si $(\int(f+g)^p)^{\frac1p}$ est infinie, alors par convexité de $x \mapsto x^p$ , on peut écrire $(\frac{f+g}2)^p \leq \frac{f^p+g^p}2$ , et donc déduire que l'inégalité annoncée est vraie.
$\bullet$ On suppose maintenant que $(\int(f+g)^p)^{\frac1p}$ est finie.
$\bullet$ On considère

conjugué à

.
$\bullet$ Alors par le théorème