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Espaces $ {\cal L}^p$ et $ L^p$

On se donne $ p \in [1,+\infty]$. On note bien que $ p$ peut être $ +\infty$.
Définition [Normes $ N_p$] Si $ p\in [1,+\infty[$ alors on note $ N_p$ l'application qui à une fonction $ f$ de $ X$ dans $ \overline {\mathbb{R}}$ ou de $ X$ dans $ \mathbb{C}$ associe $ (\int \vert f\vert^p)^{\frac1p}$.
On appelle majorant essentiel d'une fonction $ f$ tout $ M$ tel que $ \vert f(x)\vert \leq M$ pour presque tout $ x$.
Si $ p=+\infty$ alors on note $ N_\infty$ l'application qui à une fonction $ f$ de $ X$ dans $ \overline {\mathbb{R}}$ ou de $ X$ dans $ \mathbb{C}$ associe la borne $ inf$ des majorants essentiels de $ f$. $ N_\infty(f)$ est appelée borne supérieure essentielle de $ f$.
On dit qu'une fonction est essentiellement bornée si $ N_\infty(f)$ est fini.
On note $ {\cal L}^p(X,\mu)$ ou $ {\cal L}^p(X)$ lorsqu'il n'y a pas ambiguité l'ensemble des fonctions $ f$ mesurables de $ (X,\mu)$ dans $ \mathbb{R}$ telles que $ N^p(f)$ est fini.
Pour la relation $ \mathbb{R}$ définie par

$\displaystyle f \mathbb{R}g \iff f(x)=g(x)$    presque partout$\displaystyle $

on note $ L^p(X,\mu)$ ou $ L^p(X)$ l'ensemble des classes d'équivalence de l'ensemble des applications de $ X$ dans $ \mathbb{R}$ contenant au moins une fonction de $ {\cal L}^p(X,\mu)$. On définit de même $ {\cal L}^p_\mathbb{C}(X,\mu)$, $ L^p_\mathbb{C}(X,\mu)$, $ {\cal L}^p_\mathbb{C}(X)$ et $ L^p_\mathbb{C}(X)$, en considérant des fonctions à valeur dans $ \mathbb{C}$. On note $ {\lambda}^p(X)$ l'espace $ L_\mathbb{C}(X,\mu)={\cal L}_\mathbb{C}(X,\mu)$ avec $ \mu$ la mesure du dénombrement (il y a identité entre $ L(\mathbb{N})$ et $ {\cal L}(\mathbb{N})$ car pour tout $ P$ partie de $ \mathbb{N}$ $ \mu(P)$ est égal au nombre d'éléments de $ P$, éventuellement $ +\infty$, et donc le seul ensemble négligeable est l'ensemble vide). On note $ {\lambda}^p$ l'espace $ L^p_\mathbb{C}(\mathbb{N},\mu)={\cal L}^p_\mathbb{C}(\mathbb{N},\mu)=L^p_\mathbb{C}(\mathbb{N})={\cal L}^p_\mathbb{C}(N)$, avec $ \mu$ la mesure du dénombrement. Une famille $ (x_i)_{i \in I}$ de nombres complexes est sommable de somme $ x$ si pour tout $ \epsilon $ il existe $ J \subset I$ finie telle que pour tout $ K$ fini telle que $ J \subset K \subset I$ on ait $ \vert x-\sum_{i \in K}\vert \leq \epsilon $.
On note que la borne supérieure essentielle d'une fonction est le plus petit majorant essentiel de cette fonction.
$ N_p$ est une semi-norme sur $ {\cal L}^p(X)$ et une norme sur $ L^p(X)$.
$ l^p(X)$ est l'ensemble des applications des $ f$ de $ X$ dans $ \mathbb{C}$ telles que la famille $ (\vert f(x)\vert^p)_{x \in X}$ soit sommable.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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