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E. Cartan

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Théorème de Cantor-Bernstein

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Espaces et

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Espaces ${\cal L}^p$ et

On se donne $p \in [1,+\infty]$ . On note bien que

peut être $+\infty$ .
Définition [Normes

] Si $p\in [1,+\infty[$ alors on note l'application qui à une fonction

dans $\overline {\mathbb{R}}$ ou de

dans $\mathbb{C}$ associe $(\int \vert f\vert^p)^{\frac1p}$ .
On appelle majorant essentiel d'une fonction

tout

tel que $\vert f(x)\vert \leq M$ pour presque tout

.
Si $p=+\infty$ alors on note $N_\infty$ l'application qui à une fonction

dans $\overline {\mathbb{R}}$ ou de

dans $\mathbb{C}$ associe la borne

des majorants essentiels de

. $N_\infty(f)$ est appelée borne supérieure essentielle de

.
On dit qu'une fonction est essentiellement bornée si $N_\infty(f)$ est fini.
On note ${\cal L}^p(X,\mu)$ ou ${\cal L}^p(X)$ lorsqu'il n'y a pas ambiguité l'ensemble des fonctions

mesurables

de $(X,\mu)$ dans $\mathbb{R}$ telles que

est fini.
Pour la relation $\mathbb{R}$

définie par

$\displaystyle f \mathbb{R}g \iff f(x)=g(x)$ presque partout

$\displaystyle$

on note $L^p(X,\mu)$ ou l'ensemble des classes d'équivalence

de l'ensemble des applications de

dans $\mathbb{R}$ contenant au moins une fonction de ${\cal L}^p(X,\mu)$ . On définit de même ${\cal L}^p_\mathbb{C}(X,\mu)$ , $L^p_\mathbb{C}(X,\mu)$ , ${\cal L}^p_\mathbb{C}(X)$ et $L^p_\mathbb{C}(X)$ , en considérant des fonctions à valeur dans $\mathbb{C}$ . On note ${\lambda}^p(X)$ l'espace $L_\mathbb{C}(X,\mu)={\cal L}_\mathbb{C}(X,\mu)$ avec $\mu$ la mesure du dénombrement

(il y a identité entre $L(\mathbb{N})$ et ${\cal L}(\mathbb{N})$ car pour tout

partie de $\mathbb{N}$ $\mu(P)$ est égal au nombre d'éléments de

, éventuellement $+\infty$ , et donc le seul ensemble négligeable est l'ensemble vide). On note ${\lambda}^p$ l'espace $L^p_\mathbb{C}(\mathbb{N},\mu)={\cal L}^p_\mathbb{C}(\mathbb{N},\mu)=L^p_\mathbb{C}(\mathbb{N})={\cal L}^p_\mathbb{C}(N)$ , avec $\mu$ la mesure du dénombrement. Une famille $(x_i)_{i \in I}$ de nombres complexes est sommable de somme si pour tout $\epsilon$ il existe $J \subset I$ finie telle que pour tout

fini telle que $J \subset K \subset I$ on ait $\vert x-\sum_{i \in K}\vert \leq \epsilon$ .
On note que la borne supérieure essentielle d'une fonction est le plus petit majorant essentiel de cette fonction.

est une semi-norme

sur ${\cal L}^p(X)$ et une norme

sur