On se donne
. On note bien que peut être .
Définition [Normes ]
Si
alors on note l'application qui à une fonction de dans
ou de dans
associe
.
On appelle majorant essentiel d'une fonction tout tel que
pour presque tout .
Si alors on note l'application qui à une fonction de dans
ou de dans
associe la borne des majorants essentiels de .
est appelée borne supérieure essentielle de .
On dit qu'une fonction est essentiellement bornée si
est fini.
On note ou lorsqu'il n'y a pas ambiguité l'ensemble des fonctions mesurables de dans
telles
que est fini.
Pour la relation
définie par
presque partout
on note ou l'ensemble des classes d'équivalence de l'ensemble des applications de dans
contenant au moins une fonction de .
On définit de même
,
,
et
, en considérant des fonctions à valeur dans
.
On note
l'espace
avec la mesure du dénombrement (il y a identité entre
et
car pour tout partie de
est égal au nombre d'éléments de , éventuellement , et donc le seul ensemble négligeable est l'ensemble vide).
On note
l'espace
, avec la mesure du dénombrement.
Une famille
de nombres complexes est sommable de somme si pour tout il existe
finie telle que pour tout fini telle que
on ait
.
On note que la borne supérieure essentielle d'une fonction est le plus petit majorant essentiel de cette fonction.
est une semi-norme sur
et une norme sur .
est l'ensemble des applications des de dans
telles que
la famille
soit sommable.
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