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E. Cartan

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Théorèmes sur les

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Théorèmes sur les

Théorème [Convergence dominée de Lebesgue dans

]

On suppose ici $p \neq +\infty$ .
Soit une suite

de fonctions mesurables, telle que

$\displaystyle f_n(x) \to f(x)$ pour presque tout $\displaystyle x$

$\displaystyle \exists g \in L^p / \forall (x,n) \vert f_n(x)\vert \leq g(x)$

alors la classe de

appartient à

tend vers

pour

.
Démonstration: Il suffit d'appliquer le théorème de convergence dominée

, avec

. $\sqcap$ $\sqcup$

Remarque 1 (Contre-exemple avec $p=+\infty$ ) Il suffit de considérer $f_n = \chi_[n,+\infty[$ , pour avoir toutes les hypothèses vérifiées, sans que la conclusion soit juste.

Corollaire Les espaces

sont des espaces de Banach

, pour $p \in [1,+\infty]$ .
Démonstration: $\bullet$ Tout d'abord on considère le cas $p=\infty$ .
On se donne une série

normalement convergente pour la norme infinie; on peut clairement considérer une limite simple

par complétude

de $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .
Quitte à remplacer

par une autre fonction de la même classe que

, on peut considérer

fini un majorant de

(et pas seulement un majorant essentiel). On peut alors simplement considérer le reste $\sum_{i=n+1..+\infty} N_\infty(x)$ pour avoir la convergence pour la norme infinie.
$\bullet$ On traite maintenant le cas $p \neq \infty$ .
$\bullet$ Supposons donnée une série

de fonctions mesurables normalement convergente (il est nécéssaire et suffisant pour qu'un espace normé soit complet que toute série normalement convergente soit convergente

).
$\bullet$ On note $g(x)=\sum \vert f_n(x)\vert$ .
$\bullet$ Par le théorème de convergence monotone

$\int g = lim \int \sum_{i\in [1,n]} \vert f_i(x)\vert$ et cette quantité est finie par hypothèse.
$\bullet$ Par le théorème

appliquée à $\sum_{i=1..n} f_i$ majorée par

appartenant à

tend vers

pour

. $\sqcap$ $\sqcup$

Bien noter que le résultat de complétude vaut aussi pour $L^\infty$ .
Proposition Pour $p \in [1,+\infty]$ , si

est de mesure finie, alors $L^{p'}(X) \subset L^p(X)$

pour tout $p' \geq p$ (éventuellement

infini).
Démonstration: Pas dur, en séparant

en l'ensemble des points où $\vert f\vert>1$ et en l'ensemble des points où $\vert f\vert\leq 1$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Remarque importante ! Comme le signale la remarque qui suit le théorème

, l'espace $L^p(\mathbb{R}^n)$ s'exprime en fait comme le complété pour la distance associée à la norme ${\parallel}. {\parallel}_p$ , si $p<\infty$ . Ce résultat n'est pas valable pour $p=\infty$ ; ici l'adhérence serait simplement l'ensemble des applications qui, pour tout $\epsilon >0$ , sont inférieures à $\epsilon$ ^1.1 en dehors d'un certain compact $K_\epsilon$ . La démonstration suivante, difficile, est directement extraite (et simplifiée, quitte à renforcer légèrement les hypothèses - le résultat général inclut en fait

union dénombrable de parties de mesure finie) du livre de W. Rudin, Analyse réelle et complexe.
Théorème Soit $p\in [1,\infty[$ , $\mu$ mesure positive finie sur

, $\phi$ forme linéaire bornée (à valeurs dans $\mathbb{C}$ ) sur

. Soit

tel que $\frac 1p + \frac 1q=1$ . Alors il existe un unique

(presque partout) ^1.2

, tel que

$\displaystyle \phi(f)=\int_X fg d\mu$

(1.1)

et on a alors

$\displaystyle {\parallel}\phi {\parallel}= {\parallel}g {\parallel}_q =\sqrt[q] \int \vert g\vert^q$

Ce théorème énonce exactement un isomorphisme entre

. Il faut bien noter que

signifie $L^p(\mu)$ et

signifie $L_q(\mu)$ .
Démonstration: L'unicité découle facilement du fait que si

sont deux fonctions vérifiant la propriété

, alors pour tout

mesurable, l'intégrale sur

est nulle; donc en particulier pour

égal à l'ensemble des

pour lesquels (respectivement)

. L'existence est beaucoup plus laborieuse à prouver: $\bullet$ Tout d'abord, l'inégalité de Hölder

et l'équation

impliquent immédiatement ${\parallel}\phi {\parallel}\leq {\parallel}g {\parallel}_q$ . Il est donc suffisant de montrer l'existence de

et le fait que ${\parallel}\phi {\parallel}\geq {\parallel}g {\parallel}_q$ . $\bullet$ Le cas $\phi=0$ est trivial. Par la suite nous supposerons donc $\phi$ non nulle. $\bullet$ Montrons tout d'abord l'existence d'une certaine fonction

telle que $\phi(f)=\int fg$ pour toute $f\in L^\infty(\mu)$ . Cela se fait comme suit:

Définissons ${\cal L}(E)=\phi(\chi_E)$ pour $\chi_E$ fonction caractéristique de mesurable de $(X,\mu)$ .
${\cal L}$ est additive, au sens où si et sont disjoints, ${\cal L}(A\cup B)={\cal L}(A)+{\cal L}(B)$ .
Elle est dénombrablement additive. Pour le voir considérons les pour entier mesurables, disjoints, égal à l'union des pour égal à , et l'union des . étant supposé inférieur à $\infty$ , ${\parallel}\chi_E-\chi_{A_k} {\parallel}_p=(\mu(E\setminus A_k))^{1/p}\to 0$ comme $k\to\infty$ . Par continuité de $\phi$ , ceci implique que ${\cal L}(A_k) \to {\cal L}(E)$ .
${\cal L}$ est donc une mesure complexe.
$\mu(E)=0$ implique que ${\cal L}(E)=0$ car alors ${\parallel}\chi_E {\parallel}_p=0$ .
Donc, d'après le théorème de Radon-Nikodyn il existe telle que pour tout mesurable inclus dans ,

$\displaystyle \phi(\chi_E)=\int_E g d\mu=\int_X \chi_E g d\mu$
Ce résultat se généralise par linéarité aux fonctions étagées mesurables.
On peut ensuite le généraliser aux fonctions dans $L^\infty(\mu)$ car toute fonction bornée (presque partout) est limite uniforme de fonctions étagées mesurables; et ${\parallel}f_i-f {\parallel}_p\to 0$ ; donc $\phi(f_i) \to \phi(f)$ .

$\bullet$ Il reste donc maintenant à montrer que

est

et que ${\parallel}\phi {\parallel}\geq {\parallel}g {\parallel}_q$ ; par densité de $L^\infty$ dans

on pourra alors conclure que l'équation

est bien vérifiée. $\bullet$ On traite tout d'abord le cas

. On se donne

mesurable; alors

$\displaystyle \vert\int_E g d\mu\vert \leq {\parallel}\phi {\parallel}{\parallel}\chi_E {\parallel}_1$

$\displaystyle ={\parallel}\phi {\parallel}\mu(E)$

Donc par le lemme

ci-dessous, ${\parallel}g {\parallel}_\infty \leq {\parallel}\phi {\parallel}$ . On a donc d'une pierre deux résultats:

est $L^\infty$ , et ${\parallel}\phi {\parallel}\geq {\parallel}g{\parallel}_\infty$ . $\bullet$ Il reste donc à traiter le cas

. Cela se fait en considérant $\alpha$ telle que $\alpha g = \vert g\vert$ et $\alpha$ de module constant égal à

. Ceci est un exercice classique et peu difficile. Ensuite:

On définit l'ensemble des tels que $\vert g(x)\vert \leq n$ .
On définit $f=\chi_{E_n} \times \vert g^{q-1}\vert \times \alpha$ .
On constate facilement que $\vert f\vert^p=\vert g\vert^q$ sur .
On sait déjà que $\phi(f)=\int fg$ ; donc

$\displaystyle \int_{E_n} \vert g\vert^q = \int fg = \phi(f) \leq {\parallel}\phi {\parallel}\times (\int_{E_n} \vert g\vert^q)^{1/p} {\parallel}$
donc $\int_{E_n} \vert g\vert^q \leq {\parallel}\phi {\parallel}^q$ . Par le théorème de convergence monotone , on peut alors dire que ${\parallel}g {\parallel}_q \leq {\parallel}\phi {\parallel}$ ; d'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Lemme Supposons

de mesure $\mu(X)$ fini,

appartenant à $L^1(\mu)$ ,

fermé de $\mathbb{C}$ . Alors si pour tout

mesurable de mesure

la moyenne sur

(ie $\frac1{\mu(E)}\int_E g(x)$ ) appartient à

, alors

appartient à

presque partout.
Démonstration: $\bullet$ Considérons $\mathbb{D}$ un disque fermé dans le complémentaire de $\Delta$ . $\bullet$ Il suffit de montrer que $\mu(E)=0$ avec $E=g^{-1}(\mathbb{D})$ ; en effet, le complémentaire de

étant (comme tout ouvert) union dénombrable de disques fermés, on aura alors $g^{-1}(\mathbb{D})$ union dénombrables d'ensembles de mesure nulle

, donc $g^{-1}(\mathbb{D})$ de mesure nulle. $\bullet$ Montrons donc $\mu(E)=0$ . Pour cela supposons, pour arriver à une contradiction, $\mu(E)>0$ . Alors, en posant $\alpha$ le centre de $\mathbb{D}$ et

son rayon,

$\displaystyle \vert\frac1{\mu(E)}\int_E g-\alpha \vert =\vert\frac1{\mu(E)}\int_E (g-\alpha )\vert$

$\displaystyle \leq \frac 1{\mu(E)} \int_E (g-\alpha )$

$\displaystyle \leq r$

Or $\frac1{\mu(E)}\int_E g$ est censé appartenir à

, d'où contradiction. $\sqcap$ $\sqcup$

Notes

... $\epsilon$ ^1.1: En module!
... partout)^1.2: L'unicité presque partout signifie que si deux fonctions vérifient cette propriété, alors elles sont nécéssairement égales presque partout.