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Théorèmes sur les $ L^p$

Théorème [Convergence dominée de Lebesgue dans $ L^p$] On suppose ici $ p \neq +\infty$.
Soit une suite $ (f_n)$ de fonctions mesurables, telle que

$\displaystyle f_n(x) \to f(x)$    pour presque tout $\displaystyle x$

$\displaystyle \exists g \in L^p / \forall (x,n) \vert f_n(x)\vert \leq g(x) $

alors la classe de $ f$ appartient à $ L^p$ et $ f_n$ tend vers $ f$ pour $ N^p$.
Démonstration: Il suffit d'appliquer le théorème de convergence dominée à $ f_n^p$, avec $ g^p$ et $ f$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Remarque 1 (Contre-exemple avec $ p=+\infty$)   Il suffit de considérer $ f_n = \chi_[n,+\infty[$, pour avoir toutes les hypothèses vérifiées, sans que la conclusion soit juste.

Corollaire Les espaces $ L^p$ sont des espaces de Banach, pour $ p \in [1,+\infty]$.
Démonstration: $ \bullet $Tout d'abord on considère le cas $ p=\infty$.
On se donne une série $ f_n$ normalement convergente pour la norme infinie; on peut clairement considérer une limite simple $ f$ par complétude de $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$.
Quitte à remplacer $ f$ par une autre fonction de la même classe que $ f$, on peut considérer $ M$ fini un majorant de $ f$ (et pas seulement un majorant essentiel). On peut alors simplement considérer le reste $ \sum_{i=n+1..+\infty} N_\infty(x)$ pour avoir la convergence pour la norme infinie.
$ \bullet $On traite maintenant le cas $ p \neq \infty$.
$ \bullet $Supposons donnée une série $ f_n$ de fonctions mesurables normalement convergente (il est nécéssaire et suffisant pour qu'un espace normé soit complet que toute série normalement convergente soit convergente).
$ \bullet $On note $ g(x)=\sum \vert f_n(x)\vert$.
$ \bullet $Par le théorème de convergence monotone $ \int g = lim \int \sum_{i\in [1,n]} \vert f_i(x)\vert$ et cette quantité est finie par hypothèse.
$ \bullet $Par le théorème [*] appliquée à $ \sum_{i=1..n} f_i$ majorée par $ g$ appartenant à $ L^p$, $ f_n$ tend vers $ f$ pour $ N_p$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Remarque Bien noter que le résultat de complétude vaut aussi pour $ L^\infty$.
Proposition Pour $ p \in [1,+\infty]$, si $ X$ est de mesure finie, alors $ L^{p'}(X) \subset L^p(X)$ pour tout $ p' \geq p$ (éventuellement $ p'$ infini).
Démonstration: Pas dur, en séparant $ X$ en l'ensemble des points où $ \vert f\vert>1$ et en l'ensemble des points où $ \vert f\vert\leq 1$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Remarque Remarque importante ! Comme le signale la remarque qui suit le théorème [*], l'espace $ L^p(\mathbb{R}^n)$ s'exprime en fait comme le complété pour la distance associée à la norme $ {\parallel}. {\parallel}_p$, si $ p<\infty$. Ce résultat n'est pas valable pour $ p=\infty$; ici l'adhérence serait simplement l'ensemble des applications qui, pour tout $ \epsilon >0$, sont inférieures à $ \epsilon $1.1 en dehors d'un certain compact $ K_\epsilon $. La démonstration suivante, difficile, est directement extraite (et simplifiée, quitte à renforcer légèrement les hypothèses - le résultat général inclut en fait $ X$ union dénombrable de parties de mesure finie) du livre de W. Rudin, Analyse réelle et complexe.
Théorème Soit $ p\in [1,\infty[$, $ \mu$ mesure positive finie sur $ X$, $ \phi$ forme linéaire bornée (à valeurs dans $ \mathbb{C}$) sur $ L^p(X)$. Soit $ q$ tel que $ \frac 1p + \frac 1q=1$. Alors il existe un unique $ g$ (presque partout) 1.2 $ L^q$, tel que
$\displaystyle \phi(f)=\int_X fg d\mu$     (1.1)

et on a alors

$\displaystyle {\parallel}\phi {\parallel}= {\parallel}g {\parallel}_q =\sqrt[q] \int \vert g\vert^q$


Ce théorème énonce exactement un isomorphisme entre $ L^q$ et $ L^p$. Il faut bien noter que $ L^p$ signifie $ L^p(\mu)$ et $ L^q$ signifie $ L_q(\mu)$.
Démonstration: L'unicité découle facilement du fait que si $ g$ et $ g'$ sont deux fonctions vérifiant la propriété [*], alors pour tout $ E$ mesurable, l'intégrale sur $ E$ de $ g-g'$ est nulle; donc en particulier pour $ E$ égal à l'ensemble des $ x$ pour lesquels (respectivement) $ Re(g(x))>Re(g'(x))$, $ Re(g(x))<Re(g'(x))$, $ Im(g(x))>Im(g'(x))$, $ Im(g(x))<Im(g'(x))$. L'existence est beaucoup plus laborieuse à prouver: $ \bullet $Tout d'abord, l'inégalité de Hölder [*] et l'équation [*] impliquent immédiatement $ {\parallel}\phi {\parallel}\leq {\parallel}g {\parallel}_q$. Il est donc suffisant de montrer l'existence de $ g$ et le fait que $ {\parallel}\phi {\parallel}\geq {\parallel}g {\parallel}_q$. $ \bullet $Le cas $ \phi=0$ est trivial. Par la suite nous supposerons donc $ \phi$ non nulle. $ \bullet $Montrons tout d'abord l'existence d'une certaine fonction $ g$ telle que $ \phi(f)=\int fg$ pour toute $ f\in L^\infty(\mu)$. Cela se fait comme suit:
  • Définissons $ {\cal L}(E)=\phi(\chi_E)$ pour $ \chi_E$ fonction caractéristique de $ E$ mesurable de $ (X,\mu)$.
  • $ {\cal L}$ est additive, au sens où si $ A$ et $ B$ sont disjoints, $ {\cal L}(A\cup B)={\cal L}(A)+{\cal L}(B)$.
  • Elle est dénombrablement additive. Pour le voir considérons les $ E_i$ pour $ i$ entier $ >0$ mesurables, disjoints, $ A_k$ égal à l'union des $ A_i$ pour $ i$ égal à $ 1,2,...,k$, et $ E$ l'union des $ E_i$. $ p$ étant supposé inférieur à $ \infty$, $ {\parallel}\chi_E-\chi_{A_k} {\parallel}_p=(\mu(E\setminus A_k))^{1/p}\to 0$ comme $ k\to\infty$. Par continuité de $ \phi$, ceci implique que $ {\cal L}(A_k) \to {\cal L}(E)$.
  • $ {\cal L}$ est donc une mesure complexe.
  • $ \mu(E)=0$ implique que $ {\cal L}(E)=0$ car alors $ {\parallel}\chi_E {\parallel}_p=0$.
  • Donc, d'après le théorème de Radon-Nikodyn il existe $ g$ $ L^1$ telle que pour tout $ E$ mesurable inclus dans $ X$,

    $\displaystyle \phi(\chi_E)=\int_E g d\mu=\int_X \chi_E g d\mu$

  • Ce résultat se généralise par linéarité aux fonctions étagées mesurables.
  • On peut ensuite le généraliser aux fonctions dans $ L^\infty(\mu)$ car toute fonction $ f$ bornée (presque partout) est limite uniforme de fonctions $ f_i$ étagées mesurables; et $ {\parallel}f_i-f {\parallel}_p\to 0$; donc $ \phi(f_i) \to \phi(f)$.
$ \bullet $Il reste donc maintenant à montrer que $ g$ est $ L^q$ et que $ {\parallel}\phi {\parallel}\geq {\parallel}g {\parallel}_q$; par densité de $ L^\infty$ dans $ L^p$ on pourra alors conclure que l'équation [*] est bien vérifiée. $ \bullet $On traite tout d'abord le cas $ p=1$. On se donne $ E$ mesurable; alors

$\displaystyle \vert\int_E g d\mu\vert \leq {\parallel}\phi {\parallel}{\parallel}\chi_E {\parallel}_1$

$\displaystyle ={\parallel}\phi {\parallel}\mu(E)$

Donc par le lemme [*] ci-dessous, $ {\parallel}g {\parallel}_\infty \leq {\parallel}\phi {\parallel}$. On a donc d'une pierre deux résultats: $ g$ est $ L^\infty$, et $ {\parallel}\phi {\parallel}\geq {\parallel}g{\parallel}_\infty$. $ \bullet $Il reste donc à traiter le cas $ p>1$. Cela se fait en considérant $ \alpha $ telle que $ \alpha g = \vert g\vert$ et $ \alpha $ de module constant égal à $ 1$. Ceci est un exercice classique et peu difficile. Ensuite:
  • On définit $ E_n$ l'ensemble des $ x$ tels que $ \vert g(x)\vert \leq n$.
  • On définit $ f=\chi_{E_n} \times \vert g^{q-1}\vert \times \alpha $.
  • On constate facilement que $ \vert f\vert^p=\vert g\vert^q$ sur $ E_n$.
  • On sait déjà que $ \phi(f)=\int fg$; donc

    $\displaystyle \int_{E_n} \vert g\vert^q = \int fg = \phi(f) \leq {\parallel}\phi {\parallel}\times (\int_{E_n} \vert g\vert^q)^{1/p} {\parallel}$

    donc $ \int_{E_n} \vert g\vert^q \leq {\parallel}\phi {\parallel}^q$. Par le théorème de convergence monotone [*], on peut alors dire que $ {\parallel}g {\parallel}_q \leq {\parallel}\phi {\parallel}$; d'où le résultat. $ \sqcap$$ \sqcup$
Lemme Supposons $ X$ de mesure $ \mu(X)$ fini, $ g$ appartenant à $ L^1(\mu)$, $ S$ fermé de $ \mathbb{C}$. Alors si pour tout $ E$ mesurable de mesure $ >0$ la moyenne sur $ E$ de $ g$ (ie $ \frac1{\mu(E)}\int_E g(x)$) appartient à $ S$, alors $ g$ appartient à $ S$ presque partout.
Démonstration: $ \bullet $Considérons $ \mathbb{D}$ un disque fermé dans le complémentaire de $ \Delta$. $ \bullet $Il suffit de montrer que $ \mu(E)=0$ avec $ E=g^{-1}(\mathbb{D})$; en effet, le complémentaire de $ S$ étant (comme tout ouvert) union dénombrable de disques fermés, on aura alors $ g^{-1}(\mathbb{D})$ union dénombrables d'ensembles de mesure nulle, donc $ g^{-1}(\mathbb{D})$ de mesure nulle. $ \bullet $Montrons donc $ \mu(E)=0$. Pour cela supposons, pour arriver à une contradiction, $ \mu(E)>0$. Alors, en posant $ \alpha $ le centre de $ \mathbb{D}$ et $ r$ son rayon,

$\displaystyle \vert\frac1{\mu(E)}\int_E g-\alpha \vert =\vert\frac1{\mu(E)}\int_E (g-\alpha )\vert $

$\displaystyle \leq \frac 1{\mu(E)} \int_E (g-\alpha )$

$\displaystyle \leq r$

Or $ \frac1{\mu(E)}\int_E g$ est censé appartenir à $ S$, d'où contradiction.$ \sqcap$$ \sqcup$

Notes

...$ \epsilon $1.1
En module!
... partout)1.2
L'unicité presque partout signifie que si deux fonctions vérifient cette propriété, alors elles sont nécéssairement égales presque partout.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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