Théorème [Convergence dominée de Lebesgue dans ]On suppose ici
.
Soit une suite de fonctions mesurables, telle que
pour presque tout
alors la classe de appartient à et tend vers
pour .
Démonstration:Il suffit d'appliquer le théorème de convergence dominée à , avec
et .
Remarque 1 (Contre-exemple avec )
Il suffit de considérer
, pour avoir
toutes les hypothèses vérifiées, sans que la conclusion
soit juste.
Corollaire
Les espaces sont des espaces de Banach, pour
.
Démonstration:Tout d'abord on considère le cas .
On se donne une série normalement convergente pour la norme
infinie; on peut clairement considérer une limite simple par
complétude de
ou
.
Quitte à remplacer par une autre fonction
de la même classe que , on peut considérer
fini un majorant de (et pas seulement un
majorant essentiel). On peut alors
simplement considérer le reste
pour avoir
la convergence pour la norme infinie.
On traite maintenant le cas
.
Supposons donnée une série de fonctions mesurables
normalement convergente (il est nécéssaire et suffisant pour qu'un espace
normé soit complet que toute série normalement convergente soit convergente).
On note
.
Par le théorème de convergence monotone et cette quantité est finie par hypothèse.
Par le théorème appliquée à
majorée
par appartenant à , tend vers pour . Bien noter que le résultat de complétude vaut aussi pour .
Proposition
Pour
, si est de mesure finie, alors
pour tout (éventuellement infini).
Démonstration:
Pas dur, en séparant en l'ensemble des points où et en l'ensemble des points où . Remarque importante ! Comme le signale la remarque qui suit le théorème , l'espace
s'exprime en fait comme le complété pour la distance associée à la norme
, si .
Ce résultat n'est pas valable pour ; ici l'adhérence serait simplement l'ensemble des applications qui, pour tout
, sont inférieures à 1.1 en dehors d'un certain compact
.
La démonstration suivante, difficile, est directement extraite (et simplifiée, quitte à renforcer légèrement les hypothèses - le résultat général inclut en fait union dénombrable de parties de mesure finie) du livre de W. Rudin, Analyse
réelle et complexe.
Théorème
Soit
, mesure positive finie sur , forme linéaire bornée (à valeurs
dans
)
sur . Soit tel que
.
Alors il existe un unique (presque partout) 1.2, tel que
(1.1)
et on a alors
Ce théorème énonce exactement un isomorphisme entre et . Il faut bien noter
que signifie et signifie .
Démonstration:
L'unicité découle facilement du fait que si et sont deux fonctions vérifiant la
propriété , alors pour tout mesurable, l'intégrale sur de est nulle;
donc en particulier pour égal à l'ensemble des pour lesquels (respectivement)
,
,
,
.
L'existence est beaucoup plus laborieuse à prouver:
Tout d'abord, l'inégalité de Hölder et l'équation impliquent
immédiatement
. Il est donc suffisant de montrer l'existence de et
le fait que
.
Le cas est trivial. Par la suite nous supposerons donc non nulle.
Montrons tout d'abord l'existence d'une certaine fonction telle que
pour toute
. Cela se fait comme suit:
Définissons
pour fonction caractéristique de mesurable de .
est additive, au sens où si et sont disjoints,
.
Elle est dénombrablement additive. Pour le voir considérons les pour entier
mesurables, disjoints, égal à l'union des pour égal à , et l'union
des . étant supposé inférieur à ,
comme
. Par continuité de , ceci implique que
.
est donc une mesure complexe.
implique que
car alors
.
Donc, d'après le théorème de Radon-Nikodyn il existe telle
que pour tout mesurable inclus dans ,
Ce résultat se généralise par linéarité aux fonctions étagées mesurables.
On peut ensuite le généraliser aux fonctions dans
car toute fonction
bornée (presque partout) est limite uniforme de fonctions étagées mesurables; et
;
donc
.
Il reste donc maintenant à montrer que est et que
; par
densité de dans on pourra alors conclure que l'équation est bien vérifiée.
On traite tout d'abord le cas . On se donne mesurable; alors
Donc par le lemme ci-dessous,
.
On a donc d'une pierre deux résultats: est , et
.
Il reste donc à traiter le cas . Cela se fait en considérant telle que
et
de module constant égal à . Ceci est un exercice classique et peu difficile.
Ensuite:
On définit l'ensemble des tels que
.
On définit
.
On constate facilement que
sur .
On sait déjà que
; donc
donc
. Par le théorème de convergence monotone ,
on peut alors dire que
; d'où le résultat.
Lemme
Supposons de mesure fini, appartenant à , fermé de
. Alors
si pour tout mesurable de mesure la moyenne sur de (ie
) appartient à , alors appartient à presque partout.
Démonstration:Considérons
un disque fermé dans le complémentaire de .
Il suffit de montrer que avec
; en effet,
le complémentaire de étant (comme tout ouvert) union dénombrable
de disques fermés, on aura alors
union dénombrables d'ensembles
de mesure nulle, donc
de mesure nulle.
Montrons donc . Pour cela supposons, pour arriver à une contradiction,
. Alors, en posant le centre de
et son rayon,