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Espace $ L^2$

$ \boxcircle $ Généralités

$ 2$ est conjugué à lui-même, d'où le cas particulier.
Voici une liste de propriétés, découlant immédiatement des propriétés de $ L^p$:
$ \bullet $Le produit de deux fonctions de $ L^2$ est intégrable (par l'inégalité de Hölder)
$ \bullet $

$ \boxcircle $ Espaces préhilbertiens $ L^2$ et $ L^2_\mathbb{C}$

Définition Le produit scalaire euclidien usuel sur $ L^2(X)$ est égal à $ (f,g) \mapsto <f\vert g>=\int f .g d\mu$.
Ce produit scalaire euclidien fait de $ L^2(X)$ un espace hilbertien réel. Le produit scalaire hermitien usuel sur $ L^2_\mathbb{C}(X)$ est égal à $ (f,g) \mapsto <f\vert g>=\int \overline f .g d\mu$.
Ce produit scalaire hermitien fait de $ L^2_\mathbb{C}(X)$ un espace hilbertien complexe.

$ \boxcircle $ Espace de Hilbert $ L^2$ et $ L^2_\mathbb{C}$

$ L^2$ et $ L^2_\mathbb{C}$ sont préhilbertiens et complets, donc ce sont des espaces de Hilbert. Ceci sera abondamment utilisé dans la partie [*] sur les séries de Fourier.

C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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