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Définitions de base

Définition On se donne $ a$ un point d'un espace topologique $ X$, et on note $ {\cal V}'(A)$ l'ensemble des voisinages de $ a$ privés de $ a$, et $ U\in {\cal V}'(A)$.

Etant données deux applications $ f$ et $ g$, $ f$ de $ U$ dans un espace vectoriel normé et $ g$ de $ U$ dans $ \mathbb{R}$, on dit que $ f$ est dominée par $ g$, noté $ f=O(g)$, si il existe une constante $ M$ telle que $ {\parallel}f {\parallel}\leq M.\vert g\vert$ sur un certain $ V\in{\cal V}'(A)$.

Etant données deux applications $ f$ et $ g$, $ f$ de $ U$ dans un espace vectoriel normé et $ g$ de $ U$ dans $ \mathbb{R}$, on dit que $ f$ est négligeable devant $ g$, noté $ f=o(g)$, si pour tout $ \epsilon $ il existe $ V\in {\cal V}'$ tel que $ {\parallel}f {\parallel}\leq \epsilon .\vert g\vert$ sur un certain $ V\in{\cal V}'(A)$.

Etant données deux applications $ f$ et $ g$ de $ U$ dans $ \mathbb{R}$, on dit que $ f$ est équivalente à $ g$ et on note $ f \simeq g$ si $ f-g = o(g)$.


Attention! Ces notions sont locales; $ o(f)$ est lié, implicitement, à $ a$; la notation, dépourvue de la mention de $ a$, est légèrement abusive car dépendant du contexte.

Attention! La notation est doublement abusive; $ f=o(g)$ signifie en fait que $ f$ appartient à l'ensemble des fonctions négligeables devant $ g$ - il ne s'agit pas d'égalité mais d'appartenance.

Proposition

$ \bullet\ $$ f=o(1)$ si et seulement si $ f$ tend vers 0 en $ a$.

$ \bullet\ $$ f=O(1)$ si et seulement si $ f$ est bornée au voisinage de $ a$.

$ \bullet\ $$ \simeq$ est une relation d'équivalence.

$ \bullet\ $$ f$ admet une limite non nulle en $ a$ et $ f\equiv g$ implique que $ g$ admet la même limite en $ a$.

$ \bullet\ $$ f=o(g)$ équivaut à l'existence de $ V$ dans $ {\cal V}'$ et d'une fonction $ \epsilon $ de $ V$ dans $ \mathbb{R}$ tendant vers 0 en $ a$ telle que

$\displaystyle \forall x \in V {\parallel}f(x) {\parallel}\leq \epsilon (x).\vert g(x)\vert$

$ \bullet\ $$ f \simeq g$ équivaut à l'existence de $ V$ dans $ {\cal V}'$ et d'une fonction $ \epsilon $ de $ V$ dans $ \mathbb{R}$ tendant vers 0 en $ a$ telle que

$\displaystyle \forall x \in V \ f(x) = (1+\epsilon (x)).g(x)$

$ \bullet\ $ $ f \simeq g$ implique que $ f$ et $ g$ ont même signe au voisinage de $ a$

$ \bullet\ $ $ f \simeq 0$ implique que $ f$ est nulle au voisinage de $ a$ ( Attention! et pas seulement que $ f$ tend vers 0 !)

$ \bullet\ $En $ +\infty$ $ x\mapsto ln(x^a)$ est négligeable devant $ x\mapsto x^b$ qui est négligeable devant $ x\mapsto e^{cx}$ pour $ a$, $ b$ et $ c$ $ >0$.


Ces notations sont appelées notations de Landau.

Application(s)... Voir par exemple [*].

Définition On dit que $ f$ de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{C}$ admet un développement limité en $ a\in \mathbb{R}$ à l'ordre $ n$ s'il existe une fonction polynôme $ P$ de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{C}$ telle que au voisinage de $ a$ $ f(x)=P(x)+o((x-a)^n)$.

Bien que peu utilisé dans la pratique, il existe une autre définition, plus générale, utilisant les polynômes à coefficients dans un espace vectoriel normé :

Définition [Généralisation] On dit que $ f$ de $ \mathbb{R}$ dans un espace vectoriel normé $ E$ admet un développement limité en $ a\in \mathbb{R}$ à l'ordre $ n$ s'il existe un polynôme $ P$ à coefficients dans $ E$ telle que au voisinage de $ a$ $ f(x)=P(x)+o((x-a)^n)$.

Je n'étudierai pas ce cas, pour lequel on se réfèrera au livre [3].

On définit parfois la notion de développement limité au sens fort:

Définition On dit que $ f$ de $ \mathbb{R}$ dans un espace vectoriel normé $ E$ admet un développement limité au sens fort en $ a\in \mathbb{R}$ à l'ordre $ n$ s'il existe un polynôme $ P$ à coefficients dans $ E$ telle que au voisinage de $ a$ $ f(x)=P(x)+O((x-a)^{n+1})$.

Proposition $ \bullet\ $S'il existe un polynôme $ P$ à coefficients dans $ E$ telle que au voisinage de $ a$, $ f(x)=P(x)+O((x-a)^{n+1})$, on peut toujours imposer que $ P$ soit de degré $ \leq n$. En effet il suffit de prendre le reste dans la division euclidienne de $ P$ par $ (x-a)^{n+1}$; le quotient multiplié par $ (x-a)^n$ sera un négligeable devant $ (x-a)^{n+1}$. Ceci a pour conséquence l'unicité du développement limité.

$ \bullet\ $Si $ f$ est continue en $ a$, alors elle admet un développement limité en $ a$ d'ordre 0.

$ \bullet\ $Si $ f$ est dérivable en $ a$, alors elle admet un développement limité en $ a$ d'ordre $ 1$.

$ \bullet\ $Si $ f$ admet un développement limité à l'ordre 0 en $ a$, alors elle est continue en $ a$ ou admet un prolongement par continuité en $ a$.

$ \bullet\ $Si $ f$ admet un développement limité à l'ordre $ 1$ en $ a$, alors elle est dérivable en $ a$ ou est prolongeable en une fonction dérivable en $ a$.

$ \bullet\ $si $ f$ est $ n$ fois dérivable en $ a$, alors elle admet un développement limité en $ a$ d'ordre $ n$ (voir le théorème [*]).


Attention! Il n'y a pas de réciproque au dernier $ \bullet\ $! Une fonction peut admettre un développement limité d'ordre $ n$ sans être dérivable plus d'une fois! On donnera un exemple dans la partie [*]


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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