Opérations sur les équivalents et les développements limités
Proposition
On suppose , , et au voisinage de ; est un réel.
et
Par contre on n'a PAS la possibilité d'additionner des équivalents, même positifs.
Exemples:(fonction admettant un développement limité à l'ordre sans être fois dérivable:
Considérons la fonction :
prolongée par continuité en 0 ().
On considère son développement limité en 0.
Il est clair que
car est bornée.
Pourtant, en faisant le calcul, on constatera que n'est pas deux fois dérivable en 0.
Proposition [Unicité du développement limité ]
Si admet un développement limité en à l'ordre , ce développement limité est unique.
Démonstration:Ecrire la différence entre deux polynômes de degré comme un
; puis considérer le premier coefficient sur lequel ils diffèrent.
NB: On peut définir les développements limités sur des intervalles de
; dans ce cas on note que le développement limité en ou en pour un développement limité sur est unique.
Proposition [Troncature des développements limités ]
Si
alors a fortiori
pour .
Proposition
Si
avec alors
définie par
est prolongeable par continuité en
et
.
Proposition [Intégration d'un développement limité]
Supposons dérivable au voisinage de , et
Alors
Démonstration:On suppose donc
On se ramène par translation à et on écrit
D'où le résultat.
On a un résultat similaire avec des développements limités au sens fort.
Proposition [Intégration d'un développement limité au sens fort]
Supposons dérivable au voisinage de , et
Alors
Démonstration:Tout à fait similaire à la preuve précédente.
On NE PEUT PAS, dans le cas général, dériver terme à terme un développement limité ! Toutefois, c'est possible pour une fonction de classe par exemple.
Par simplicité, on va maintenant supposer que . On en déduit bien évidemment le cas général.
Définition
On définit la relation suivante sur l'ensemble des fonctions continues en 0:
si
On dit que est tangente à à l'ordre .
PropositionTout d'abord une évidence:
si et seulement si
et
impliquent
et
impliquent
et
implique
et polynôme implique
et
impliquent
Démonstration:Seuls les trois derniers points méritent notre attention, les autres étant clairs.
Supposons donc
et
.
Or et ont une limite non nulle en 0.
Donc
tend vers 0 en 0;
d'où le résultat.
Il est suffisant de le montrer avec un monôme; et ce résultat découle
de
(le terme en étant borné)
On procède comme suit:
- Ecrivons
, avec
quand
- Ecrivons
, avec bornée au voisinage de 0
- Alors
Le résultat est alors acquis; on note l'efficacité de la méthode
consistant à écrire explicitement les avec des
et
des .
Ces résultats vont permettre de combiner des développements limités de la manière expliquée
ci-dessous.
Proposition [Somme, produit, quotient, composé]
Soient et admettant des développements limités en 0 à l'ordre .
Alors et admettent des développements limités en 0 à l'ordre ,
et aussi si
.
Le développement limité de est la somme des développements limités de et .
Le développement limité de est le produit des développements limités de et (on peut tronquer les
termes d'ordre ).
Le développement limité du composé , si , si
et si
, est , valable à l'ordre (on peut tronquer les termes d'ordre supérieur à ).
Le développement limité de est égal au développement limité du quotient des développements limités de et .
Démonstration:Le cas de l'addition, du produit découlent immédiatement des résultats précédents.
En reprenant les notations de l'énoncé,
on écrit
On sait ensuite que est équivalent à à l'ordre
(résultat de la proposition précédente).
Et on sait que est équivalent à à l'ordre , toujours
par la proposition précédente. D'où le résultat.
Pour le quotient, il suffit, en vertu du résultat sur le produit, d'étudier le développement limité de l'inverse d'une fonction donnée.
Or si est le développement limité de à l'ordre , alors
(résultat prouvé un peu plus haut).
Il suffit donc de calculer le développement limité de l'inverse. D'où le résultat (on verra un peu plus loin comment déterminer le développement limité en question).
Proposition
Les résultats précédents restent vrais si l'on travaille avec des développements limités au sens fort.
Démonstration:Les preuves sont les mêmes à peu de choses près.
Dans la pratique du calcul des développements limités , bien penser à ne PAS calculer les termes de degré trop élevés, qui devront de toute façon être oubliés.
Proposition
Le développement limité du quotient de par est donné par
la division suivant les puissances croissantes (voir théorème ).
C'est-à-dire:
Avec
, est équivalent en 0 à ,
avec
Démonstration:Le résultat découle immédiatement de la formule
, en calculant
.