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Opérations sur les équivalents et les développements limités

Proposition On suppose $ f$, $ g$, $ h$ et $ k$ $ >0$ au voisinage de $ a$; $ x$ est un réel.

$ \bullet\ $$ f \simeq g$ et $ h\simeq k$ $ \Rightarrow$ $ fh\simeq gk$

$ \bullet\ $$ f \simeq g$ $ \Rightarrow$ $ f^x \simeq g^x$

Attention! Par contre on n'a PAS la possibilité d'additionner des équivalents, même positifs.

Exemples: (fonction admettant un développement limité à l'ordre $ 2$ sans être $ 2$ fois dérivable:

Considérons la fonction $ f$ :

$\displaystyle t \mapsto t^3.sin(1/t)$

prolongée par continuité en 0 ($ f(0)=0$).

On considère son développement limité en 0.

Il est clair que $ f(t)=O(t^3)$ car $ sin$ est bornée.

Pourtant, en faisant le calcul, on constatera que $ f$ n'est pas deux fois dérivable en 0.

Proposition [Unicité du développement limité ] Si $ f$ admet un développement limité en $ a$ à l'ordre $ n$, ce développement limité est unique.

Démonstration: Ecrire la différence entre deux polynômes de degré $ n$ comme un $ o((x-a)^n)$; puis considérer le premier coefficient sur lequel ils diffèrent.$ \sqcap$$ \sqcup$

NB: On peut définir les développements limités sur des intervalles de $ \mathbb{R}$; dans ce cas on note que le développement limité en $ a$ ou en $ b$ pour un développement limité sur $ ]a,b[$ est unique.

Proposition [Troncature des développements limités ] Si $ f(t)=P(t)+o((t-a)^n)$ alors a fortiori $ f(t)=P(t)+o((t-a)^p)$ pour $ p<n$.

Proposition Si $ f(t)=P(t)(t-a)^k+o((t-a)^n)$ avec $ k<n$ alors $ g$ définie par $ g(t)=f(t)/(t-a)^k$ est prolongeable par continuité en $ a$ et $ g(t)=P(t)+o((t-a)^{n-k})$.

Proposition [Intégration d'un développement limité] Supposons $ f$ dérivable au voisinage de $ a$, et

$\displaystyle f'(t)=a_0+a_1(t-a)+a_2(t-a)^2+...+a_n(t-a)^n+o((t-a)^n)$

Alors

$\displaystyle f(t)=$

$\displaystyle f(a)+a_0(t-a)+\frac{a_1}{2}(t-a)^2+\frac{a_2}{3}(t-a)^3+...+\frac{a_n}{n+1}(t-a)^{n+1}+o((t-a)^{n+1})$


Démonstration: On suppose donc

$\displaystyle f(t)=P(t)+\epsilon (t)(t-a)^n$

On se ramène par translation à $ a=0$ et on écrit

$\displaystyle f(t)=f(0)+\int_0^t P(u)du + \int_0^t \epsilon (u)du$

$\displaystyle \left\vert f(t)-f(0)-\int_0^t P(u)du\right\vert=\left\vert\int_0^t \epsilon (u)du\right\vert$

$\displaystyle \leq sup_{u\in[0,t]} \vert\epsilon (u)\vert\int_0^t \vert u^n\vert.du$

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

On a un résultat similaire avec des développements limités au sens fort.

Proposition [Intégration d'un développement limité au sens fort] Supposons $ f$ dérivable au voisinage de $ a$, et

$\displaystyle f'(t)=a_0+a_1(t-a)+a_2(t-a)^2+...+a_n(t-a)^n+O((t-a)^{n+1})$

Alors

$\displaystyle f(t)=$

$\displaystyle f(t_0)+a_0(t-a)+\frac{a_1}{2}(t-a)^2+\frac{a_2}{3}(t-a)^3+...+\frac{a_n}{n+1}(t-a)^{n+1}+O((t-a)^{n+2})$


Démonstration: Tout à fait similaire à la preuve précédente.$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! On NE PEUT PAS, dans le cas général, dériver terme à terme un développement limité ! Toutefois, c'est possible pour une fonction de classe $ C^\infty$ par exemple.

Par simplicité, on va maintenant supposer que $ a=0$. On en déduit bien évidemment le cas général.

Définition On définit la relation suivante sur l'ensemble des fonctions continues en 0:

$\displaystyle f\equiv^n g$    si $\displaystyle f-g=o(x^n)$

On dit que $ f$ est tangente à $ g$ à l'ordre $ n$.

Proposition $ \bullet\ $Tout d'abord une évidence:

$\displaystyle f\equiv^n g$

si et seulement si

$\displaystyle \lim_{t\to 0} t^{-n}(f(t)-g(t))=0$

$ \bullet\ $ $ f \equiv^n g$ et $ h \equiv^n k$ impliquent $ f+h \equiv^n g+k$

$ \bullet\ $ $ f \equiv^n g$ et $ h \equiv^n k$ impliquent $ f.h \equiv^n g.k$

$ \bullet\ $ $ f \equiv^n g$ et $ f(0)\neq 0$ implique $ 1/f \equiv^n 1/g$

$ \bullet\ $ $ f \equiv^n g$ et $ P$ polynôme implique $ P\circ f \equiv^n P\circ g$

$ \bullet\ $ $ f \equiv^n g$ et $ h(x)=O(x^p)$ impliquent $ f\circ h \equiv^{np} g\circ h$


Démonstration: Seuls les trois derniers points méritent notre attention, les autres étant clairs.

$ \bullet\ $Supposons donc $ f \equiv^n g$ et $ f(0)\neq 0$.

$\displaystyle x^{-n}(1/f(x)-1/g(x))=\frac{g(x)-f(x)}{x^nf(x)g(x)}$

Or $ f$ et $ g$ ont une limite non nulle en 0. Donc $ \frac{g(x)-f(x)}{x^nf(x)g(x)}$ tend vers 0 en 0; d'où le résultat.

$ \bullet\ $Il est suffisant de le montrer avec $ P$ un monôme; et ce résultat découle de

$\displaystyle f^p(x)-g^p(x) = (f(x)-g(x))\sum_{k=0}^{p-1} f(x)^kg(x)^{p-1-k}$

(le terme en $ \sum$ étant borné)

$ \bullet\ $On procède comme suit:

- Ecrivons $ f(x)-g(x)=\epsilon (x)x^n$, avec $ \epsilon (x)\to 0$ quand $ x\to 0$

- Ecrivons $ h(x)=M(x)x^p$, avec $ M$ bornée au voisinage de 0

- Alors $ f\circ h(x) - g\circ h(x)=\epsilon (M(x)x^p)M(x)^nx^{np}$

Le résultat est alors acquis; on note l'efficacité de la méthode consistant à écrire explicitement les $ o(.)$ avec des $ \epsilon (.)$ et des $ M(.)$. $ \sqcap$$ \sqcup$

Ces résultats vont permettre de combiner des développements limités de la manière expliquée ci-dessous.

Proposition [Somme, produit, quotient, composé] Soient $ f$ et $ g$ admettant des développements limités en 0 à l'ordre $ n$.

Alors $ f+g$ et $ fg$ admettent des développements limités en 0 à l'ordre $ n$, et $ f/g$ aussi si $ g(0)\neq 0$.

$ \bullet\ $Le développement limité de $ f+g$ est la somme des développements limités de $ f$ et $ g$.

$ \bullet\ $Le développement limité de $ fg$ est le produit des développements limités de $ f$ et $ g$ (on peut tronquer les termes d'ordre $ >n$).

$ \bullet\ $Le développement limité du composé $ g\circ f$, si $ f(0)=0$, si $ f \equiv^n P$ et si $ g \equiv^n Q$, est $ Q\circ P$, valable à l'ordre $ n$ (on peut tronquer les termes d'ordre supérieur à $ n$).

$ \bullet\ $Le développement limité de $ f/g$ est égal au développement limité du quotient des développements limités de $ f$ et $ g$.


Démonstration: $ \bullet\ $Le cas de l'addition, du produit découlent immédiatement des résultats précédents.

$ \bullet\ $En reprenant les notations de l'énoncé, on écrit

$\displaystyle g\circ f(x)=Q(f(x)) + \epsilon (f(x))f(x)^n$

On sait ensuite que $ Q(f(x))$ est équivalent à $ Q(P(x))$ à l'ordre $ n$ (résultat de la proposition précédente). Et on sait que $ f(x)^n$ est équivalent à $ Q(x)^n$ à l'ordre $ n$, toujours par la proposition précédente. D'où le résultat.

$ \bullet\ $Pour le quotient, il suffit, en vertu du résultat sur le produit, d'étudier le développement limité de l'inverse d'une fonction $ g$ donnée.

Or si $ P$ est le développement limité de $ g$ à l'ordre $ n$, alors $ 1/g \equiv^n 1/P$ (résultat prouvé un peu plus haut).

Il suffit donc de calculer le développement limité de l'inverse. D'où le résultat (on verra un peu plus loin comment déterminer le développement limité en question). $ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Les résultats précédents restent vrais si l'on travaille avec des développements limités au sens fort.

Démonstration: Les preuves sont les mêmes à peu de choses près.$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! Dans la pratique du calcul des développements limités , bien penser à ne PAS calculer les termes de degré trop élevés, qui devront de toute façon être oubliés.

Proposition Le développement limité du quotient de $ P$ par $ Q$ est donné par la division suivant les puissances croissantes (voir théorème [*]).

C'est-à-dire:

Avec $ Q(0)\neq 0$, $ P/Q$ est équivalent en 0 à $ T$, avec

$\displaystyle P=TQ+X^{n+1}R$


Démonstration: Le résultat découle immédiatement de la formule $ P=TQ+X^{n+1}R$, en calculant $ X^{-n-1}.(P/Q-T)$.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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