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E. Cartan

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Développements asymptotiques

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Développements asymptotiques

La plupart des résultats de cette partie étant relativement faciles à établir à partir des résultats précédents ou par des méthodes similaires, les théorèmes seront généralement énoncés sans preuve.

Les développements limités sont limités au cas de fonctions admettant une limite en ; on aimerait pouvoir manier des fonctions tendant vers l'infini, en les approchant par des fractions rationnelles au lieu de les approcher par des polynômes, par exemple.

Pour cela on étend les notations , et $\simeq$ à des fonctions non nécéssairement définies continues en , et peut désormais être $+\infty$ ou $-\infty$ .

On dira que , si est inférieure en module à pour une certaine constante et sur un certain voisinage de .

On dira que si pour tout $\epsilon$ positif, est inférieure en module à $\epsilon .g$ sur un certain voisinage $V_\epsilon$ (dépendant de $\epsilon$ bien sûr) de .

On dira que $f \simeq g$ si .

De nombreuses propriétés restent valables ou s'étendent :

$\bullet\$ $f \simeq g$ et $h\simeq k$ impliquent $fh\simeq gk$

$\bullet\$ $f \simeq g$ et non nul au voisinage impliquent $1/f \simeq 1/g$

$\bullet\$ si et si est continue en , alors $f \simeq g$ implique $f\circ h \simeq g\circ h$ .

Définition On appelle échelle de comparaison au voisinage de ^1.1 une famille d'applications définies au voisinage de , non équivalentes à 0, et totalement ordonné par .

Exemples: $\bullet\$ Les monômes pour $k\in \mathbb{Z}$ constituent une échelle de comparaison au voisinage de l'infini.

$\bullet\$ Les monômes pour $k\in \mathbb{Z}$ constituent une échelle de comparaison au voisinage de zéro.

Mais on peut faire plus fin:

$\bullet\$ Les monômes pour $r\in \mathbb{R}$ constituent une échelle de comparaison au voisinage de l'infini.

$\bullet\$ Les monômes pour $k\in \mathbb{R}$ constituent une échelle de comparaison au voisinage de zéro.

$\bullet\$ Les $x\mapsto x^\alpha ln(x)^\beta$ constituent une échelle de comparaison (ordonnée par l'ordre lexicographique sur $(\alpha ,\beta)$ ) au voisinage de $+\infty$

$\bullet\$ Les $x\mapsto x^\alpha ln(x^\beta)$ ne constituent PAS une échelle de comparaison, car par exemple (!) et ne sont pas ordonnée pour !

$\bullet\$ Les $x\mapsto x^\alpha e^{xP(x)}$ pour $P\in\mathbb{R}[X]$ constituent une échelle de comparaison, ordonnée par l'ordre lexicographique sur les coefficients de par ordre décroissant puis le coefficient $\alpha$ (attention, il s'agit d'un ordre lexicographique sur des suites pouvant avoir un nombre de termes arbitrairement grand...) au voisinage de $+\infty$ .

$\bullet\$ Avec $ln_n(x)=\underbrace{ln\circ ln \circ ln \circ ... \circ ln}_{n \mbox{ fois}}(x)$ , les $x \mapsto x^\alpha \Pi_{i=1}^n ln_i^{\beta_i}(x)$ ^1.2 forment une échelle de comparaison au voisinage de $+\infty$ .

$\bullet\$ Toujours au voisinage de $+\infty$ , la famille des $\pi_{i=1}^n ln_i^{\beta_i}(x) x^\alpha \pi_{j=1}^p e^{{\lambda}_j}x^{\mu_j}$ forme aussi une échelle de comparaison. L'exponentielle l'emporte sur les puissances qui l'emportent sur les logarithmes.

Définition On se donne une application d'une partie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ , et appartenant à l'adhérence de dans $\overline \mathbb{R}$ , et on se donne ${\cal E}$ une échelle de comparaison au voisinage de .

On dit que admet un développement asymptotique pour l'échelle ${\cal E}$ à la précision $\phi$ avec $\phi$ un élément de ${\cal E}$ s'il existe une famille de réels presque tous nuls^1.3 $({\lambda}_\psi)_{\psi\in {\cal E}}$ tels que

$\displaystyle f(x)=\sum_{\psi \in {\cal E}} {\lambda}_\psi \psi(x) + o(\phi)$

Notes

... ^1.1: Qui peut être fini ou non!
... $x \mapsto x^\alpha \Pi_{i=1}^n ln_i^{\beta_i}(x)$ ^1.2: pour $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ , dans $\mathbb{N}$ et les $\beta_i$ dans $\mathbb{R}$
... nuls ^1.3: C'est à dire que seul un nombre fini de ces réels sont non nuls.