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Equivalent de la suite des sommes partielles $ U_n=\sum_{k=0}^n u_k$

Citons un résultat facile:

Théorème

Etant donnée une suite réelle $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}}$, on définit la suite des sommes partielles associée $ U_n=\sum_{k=0}^n u_k$; lorsque $ (U_n)$ est une suite convergente, on définit aussi la somme $ U=lim_{n\to\infty}\ U_n$, et le reste $ R_n=\sum_{k=n+1}^\infty u_k=U-U_n$. On définit de même, avec $ (v_n)$ une suite réelle, la série $ V_n=\sum_{k=0}^n v_k$, et si $ V_n \to V$, $ R'_n=V-V_n$. Alors:

\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert c\vert}
\hline
\mbox{Hypothèses} &...
...\\
V_n \mbox{ diverge} & U_n \simeq V_n \\
\hline
\end{array}\end{displaymath}



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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