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Comparaison séries-intégrales, cas $ \frac{f'}{f}$ convergent

Théorème On se donne une fonction $ f$ strictement positive et de classe $ C^1$ au voisinage de $ +\infty$.

On considère d'une part la série $ \sum f(n)$, et d'autre part l'intégrale $ \int_a^\infty f$.

On définit $ {\cal S}_n=\sum_{i=0}^n f(i)$, $ F(x)=\int_a^x f(t)dt$ (avec $ a$ suffisamment grand).

Soit $ K(r)=\frac{r}{1-e^{-r}}$, prolongé par continuité en 0 par $ K(0)=1$.

Si la somme converge, on définit $ R_n=\sum_{i=n+1}^\infty f(i)$.

Si l'intégrale converge, on définit $ R_f(x)=\int_x^\infty f(t)dt$ (pour $ x$ assez grand).

On suppose $ \frac{f'}{f} = r + o(1)$ alors

l'intégrale converge $ \iff$ la série converge, on a alors $ R_n \simeq K(r) F(n)$.

l'intégrale diverge $ \iff$ la série diverge, on a alors $ {\cal S}_n \simeq K(r) F(n)$.


Attention! Voir le théorème [*] pour plus d'informations sur le cas $ a=0$.

Démonstration: On définit $ g(t)=e^{-rt}f(t)$.

Alors on a $ \frac{g'}{g}=o(1)$.

Donc on peut trouver un certain $ \eta$ tel que sur $ ]\eta,\infty[$ $ \vert\frac{g'}g\vert \leq \epsilon $. Donc pour $ x$ appartenant à $ [n-1,n]$ et pour $ x>\eta$,

$\displaystyle \vert ln(\frac{g(x)}{g(n)})\vert \leq \epsilon $

et donc

$\displaystyle \frac{g(x)}{g(n)}\leq e^\epsilon$    et $\displaystyle \frac{g(n)}{g(x)}\leq e^\epsilon $

$\displaystyle (e^{-\epsilon }-1)\ f(n) \leq f(x)-f(n) \leq (e^\epsilon -1)\ f(n)$

Alors

$\displaystyle \int_{n-1}^n f(t)dt=\int_{n-1}^n e^{r t}(f(t)-f(n))dt +\int_{n-1}^n e^{rt} f(n) dt$

Si $ r=0$ l'intégrale tout à droite est simplement $ f(n)$, et le résultat en découle; si $ r\neq 0$, on réécrit cette expression sous la forme

$\displaystyle \left\vert \int_{n-1}^n f(t)dt-K(r) f(n) \right\vert \leq e^{rn}(e^\epsilon -1)g(n)=(e^\epsilon -1)f(n)$

Et on a le résultat souhaité.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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