Comparaison séries-intégrales, cas convergent
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Théorème
On se donne une fonction strictement positive et de classe  au voisinage de .
On considère d'une part la série , et d'autre part l'intégrale
.
On définit
,
(avec suffisamment grand).
Soit
, prolongé par continuité en 0 par .
Si la somme converge, on définit
.
Si l'intégrale converge, on définit
(pour assez grand).
On suppose
alors
l'intégrale converge la série converge, on a alors
.
l'intégrale diverge la série diverge, on a alors
.
Voir le théorème ![[*]](/images/crossref.png) pour plus d'informations sur le cas .
Démonstration:
On définit
.
Alors on a
.
Donc on peut trouver un certain tel que sur
. Donc pour appartenant à et pour ,
et donc
 et
Alors
Si l'intégrale tout à droite est simplement , et le résultat en découle; si , on réécrit cette expression sous la forme
Et on a le résultat souhaité.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
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