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Comparaison séries-intégrales, cas convergent

suivant: Zoologie des développements limités monter: Zoologie des comparaisons de précédent: Equivalent de Index

Comparaison séries-intégrales, cas $\frac{f'}{f}$ convergent

Théorème On se donne une fonction strictement positive et de classe au voisinage de $+\infty$ .

On considère d'une part la série $\sum f(n)$ , et d'autre part l'intégrale $\int_a^\infty f$ .

On définit ${\cal S}_n=\sum_{i=0}^n f(i)$ , $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ (avec suffisamment grand).

Soit $K(r)=\frac{r}{1-e^{-r}}$ , prolongé par continuité en 0 par .

Si la somme converge, on définit $R_n=\sum_{i=n+1}^\infty f(i)$ .

Si l'intégrale converge, on définit $R_f(x)=\int_x^\infty f(t)dt$ (pour assez grand).

On suppose $\frac{f'}{f} = r + o(1)$ alors

l'intégrale converge $\iff$ la série converge, on a alors $R_n \simeq K(r) F(n)$ .

l'intégrale diverge $\iff$ la série diverge, on a alors ${\cal S}_n \simeq K(r) F(n)$ .

Voir le théorème pour plus d'informations sur le cas .

Démonstration: On définit $g(t)=e^{-rt}f(t)$ .

Alors on a $\frac{g'}{g}=o(1)$ .

Donc on peut trouver un certain $\eta$ tel que sur $]\eta,\infty[$ $\vert\frac{g'}g\vert \leq \epsilon$ . Donc pour appartenant à et pour $x>\eta$ ,

$\displaystyle \vert ln(\frac{g(x)}{g(n)})\vert \leq \epsilon$

et donc

$\displaystyle \frac{g(x)}{g(n)}\leq e^\epsilon$ et $\displaystyle \frac{g(n)}{g(x)}\leq e^\epsilon$

$\displaystyle (e^{-\epsilon }-1)\ f(n) \leq f(x)-f(n) \leq (e^\epsilon -1)\ f(n)$

Alors

$\displaystyle \int_{n-1}^n f(t)dt=\int_{n-1}^n e^{r t}(f(t)-f(n))dt +\int_{n-1}^n e^{rt} f(n) dt$

Si l'intégrale tout à droite est simplement , et le résultat en découle; si $r\neq 0$ , on réécrit cette expression sous la forme

$\displaystyle \left\vert \int_{n-1}^n f(t)dt-K(r) f(n) \right\vert \leq e^{rn}(e^\epsilon -1)g(n)=(e^\epsilon -1)f(n)$

Et on a le résultat souhaité. $\sqcap$ $\sqcup$

suivant: Zoologie des développements limités monter: Zoologie des comparaisons de précédent: Equivalent de Index

C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud

©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001

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