Approximation de fonctions mesurables bornées

Corollaire Soit une application mesurable bornée de dans , dont le support est inclus dans de mesure finie. Alors est limite simple presque partout d'une suite de fonctions continues et bornées (par la même borne).

FLEMMARD intérêt de l'hypothèse bornée ?

Démonstration: Corollaire immédiat du théorème . Détaillons toutefois un peu:

On peut se donner une suite de fonctions continues telles que soit bornées par la même borne que et telles que soit égale à sauf sur un ensemble de mesure au plus , par le théorème .

est de mesure nulle (résultat facile à prouver directement, ou découlant facilement du premier lemme de Borel-Cantelli, voir partie ).

On vient précisément d'écrire le résultat (si, si, regardez bien).