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Approximation de fonctions mesurables bornées

Corollaire Soit $ f$ une application mesurable bornée de $ \mathbb{R}^n$ dans $ \mathbb{C}$, dont le support est inclus dans $ E$ de mesure finie. Alors $ f$ est limite simple presque partout d'une suite de fonctions $ g_n$ continues et bornées (par la même borne).

FLEMMARD intérêt de l'hypothèse $ f$ bornée ?

Démonstration: Corollaire immédiat du théorème [*]. Détaillons toutefois un peu:

$ \bullet $On peut se donner une suite $ (g_m)$ de fonctions continues telles que $ g_m$ soit bornées par la même borne que $ f$ et telles que $ g_m$ soit égale à $ f$ sauf sur un ensemble $ E_m$ de mesure au plus $ 2^{-m}$, par le théorème [*].

$ \bullet $ $ \cap_{m\geq 0} \cup_{p\geq m} E_p$ est de mesure nulle (résultat facile à prouver directement, ou découlant facilement du premier lemme de Borel-Cantelli, voir partie [*]).

$ \bullet $On vient précisément d'écrire le résultat (si, si, regardez bien).$ \sqcap$$ \sqcup$



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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