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Densité des fonctions $ C^k$ à support compact dans $ C^k(\mathbb{R}^n)$

Théorème

L'ensemble des fonctions $ C^k(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ à support compact est dense dans $ C^k(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$.

Démonstration: On se donne une fonction $ bulbe$ $ C^\infty$ telle que $ \chi_{\overline B(0,1)} \leq \chi_{\overline B(0,2)}$, grâce au lemme [*].

On définit $ bulbe_n(x)=bulbe(x/n)$

Il est clair que quelle que soit la fonction $ f$ dans $ C^k(\mathbb{R}^n)$, $ f.bulbe_{n+1}$ est égale à $ f$ sur la boule de rayon $ n$ et de centre 0. Tout compact étant inclus dans une telle boule, la convergence est clairement uniforme sur tout compact de $ f.bulbe_{n+1}$ vers $ f$, et pareil avec toutes les dérivées.$ \sqcap$$ \sqcup$



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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