L'ensemble des fonctions continues à support compact de
est dense dans
, pour
.
Démonstration:Donnons-nous dans
.
On va chercher une fonction continue à support compact telle que
.
C'est facile, il suffit d'appliquer le théorème .
D'une part est complet, d'autre part l'ensemble des fonctions continues à support
compact est dense dans . On en déduit donc que
est le complété de l'ensemble des fonctions
continues à support compact pour la norme distance associée à la distance .