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Densité de l'ensemble des fonctions continues à support compact dans $ L^p(\mathbb{R}^n)$

Théorème

L'ensemble des fonctions continues à support compact de $ L^p(\mathbb{R}^n)$ est dense dans $ L^p(\mathbb{R}^n)$, pour $ p\neq \infty$.

Démonstration: $ \bullet $Donnons-nous $ f$ dans $ L^p(\mathbb{R}^n)$.

$ \bullet $On va chercher une fonction continue $ g$ à support compact telle que $ {\parallel}f-g{\parallel}_p < \epsilon $.

$ \bullet $C'est facile, il suffit d'appliquer le théorème [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Pour y voir plus clair D'une part $ L^p$ est complet, d'autre part l'ensemble des fonctions continues à support compact est dense dans $ L^p$. On en déduit donc que $ L^p(\mathbb{R}^n)$ est le complété de l'ensemble des fonctions continues à support compact pour la norme distance associée à la distance $ L^p$.



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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