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Densité de l'ensemble des fonctions continues à support compact aaqa6 dans

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Densité de l'ensemble des fonctions continues à support compact dans $L^p(\mathbb{R}^n)$

Théorème

L'ensemble des fonctions continues à support compact de $L^p(\mathbb{R}^n)$ est dense dans $L^p(\mathbb{R}^n)$ , pour $p\neq \infty$ .

Démonstration: $\bullet$ Donnons-nous dans $L^p(\mathbb{R}^n)$ .

$\bullet$ On va chercher une fonction continue à support compact telle que ${\parallel}f-g{\parallel}_p < \epsilon$ .

$\bullet$ C'est facile, il suffit d'appliquer le théorème . $\sqcap$ $\sqcup$

D'une part est complet, d'autre part l'ensemble des fonctions continues à support compact est dense dans . On en déduit donc que $L^p(\mathbb{R}^n)$ est le complété de l'ensemble des fonctions continues à support compact pour la norme distance associée à la distance .

C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud

©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001

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