Densité de l'ensemble des fonctions continues à support compact dans

Théorème

L'ensemble des fonctions continues à support compact de est dense dans , pour .

Démonstration: Donnons-nous dans .

On va chercher une fonction continue à support compact telle que .

C'est facile, il suffit d'appliquer le théorème .

D'une part est complet, d'autre part l'ensemble des fonctions continues à support compact est dense dans . On en déduit donc que est le complété de l'ensemble des fonctions continues à support compact pour la norme distance associée à la distance .