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Densité de l'ensemble des fonctions $ C^\infty$ à support compact dans $ C^k(\mathbb{R}^n)$

Théorème

Pour tout $ k$ dans $ \mathbb{N}$, $ C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$1.6 est dense dans $ C^k(\mathbb{R}^n)$.

Démonstration:

$ \bullet $Grâce au théorème [*], il suffit de montrer que $ C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ est dense dans $ C_c^k(\mathbb{R}^n)$1.7.

$ \bullet $Pour cela on fixe $ n \in \mathbb{N}$, $ k\in \mathbb{N}$, $ f$ dans $ C_c^k(\mathbb{R}^n)$.

$ \bullet $On va utiliser les fonctions $ \rho$ et $ \rho_\epsilon $ définies dans le corollaire [*] et la proposition [*].

$ \bullet $On définit alors $ (f_m)$ l'application $ f*\rho_{1/n}$. On va montrer que la suite $ f_m$ converge uniformément sur tout compact vers $ f$, et qu'il en est de même des dérivées1.8.

$ \bullet $Calculons:

$\displaystyle (f_m-f)(x)=\int (f(x-y)-f(x))\rho_{1/n}(y)d\mu(y)$

$\displaystyle =\epsilon ^{-n} \int \rho(\frac{y}{\epsilon })(f(x-y)-f(x))dy$


$\displaystyle =\int \rho(z) (f(x-\epsilon .z)-f(x)) dz$     (1.1)

(avec le changement de variable $ z=y/\epsilon $)

$ \bullet $$ f$ étant continue à support compact, elle est uniformément continue (voir théorème [*]).

$ \bullet $Donc la quantité [*] tend vers 0, l'intégrale de $ \rho$ étant bornée, uniformément en $ x$.

$ \bullet $On en déduit que $ f_m \to f$ uniformément.

$ \bullet $Pour généraliser au cas des dérivées de $ f_m$ et de $ f$, et pour justifier que $ f_m$ est bien $ C^\infty$, il suffit d'appliquer le théorème [*].$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

... $ C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$1.6
Ensemble des fonctions $ C^\infty$ à support compact de $ \mathbb{R}^n$ dans $ \mathbb{R}$.
... $ C_c^k(\mathbb{R}^n)$1.7
Ensembles des fonctions $ C^k$ à support compact.
... dérivées1.8
Ce qui est caractéristique de la convergence pour la topologie usuelle de $ C^k$, voir [*].

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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