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Densité de l'ensemble des fonctions $ C^\infty$ à support compact dans $ L^p(\mathbb{R}^n)$

Théorème L'ensemble des fonctions $ C^\infty$ à support compact de $ \mathbb{R}^n$ est dense dans $ L^p(\mathbb{R}^n)$, pour $ p<\infty$.

Démonstration:

$ \bullet $En vertu du théorème [*], il suffit de montrer que l'ensemble des fonctions $ C^\infty$ à support compact de $ \mathbb{R}^n$ dans $ \mathbb{R}$ est dense dans $ L^p_c(\mathbb{R}^n)$1.9 $ \cap C^0(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$, pour $ p<\infty$.

$ \bullet $On se donne donc une fonction $ f$ dans $ L^p_c(\mathbb{R}^n)$, pour $ p<\infty$.

$ \bullet $On va utiliser les fonctions $ \rho$ et $ \rho_\epsilon $ définies dans le corollaire [*] et la proposition [*].

$ \bullet $On définit alors $ (f_m)$ l'application $ f*\rho_{1/n}$.

$ \bullet $On pose maintenant $ q$ tel que $ 1/p+1/q=1$, le conjugué de $ p$.

$ \bullet $Il ne reste plus qu'à calculer :

$\displaystyle \vert(f_m-f)(x)\vert$

$\displaystyle \leq \int \rho(z) \vert f(x-z/n) -f(x) \vert d\mu(z)$

$\displaystyle \leq \int \rho(z)^{1/q} \rho(z)^{1/p} \vert f(x-z/n) -f(x) \vert d\mu(z)$

$\displaystyle \leq (\int (\rho(z)^{1/q})^q) d\mu(z))^{1/q} (\int (\rho(z)^{1/p})\vert f(x-z/n)-f(x)\vert)^p d\mu(z))^{1/p}$

par l'inégalité de Hölder (théorème [*])

$\displaystyle \leq (\int \rho(z)d\mu(z) )^{1/q} (\int \rho(z) \vert f(x-z/n)-f(x)\vert^p d\mu(z))^{1/p}$

$ \bullet $On déduit du calcul précédent, puisque $ \int \rho=1$ par la proposition [*]:

$\displaystyle N^p(f_m-f)^p \leq \int (\int \rho(z) \vert f(x-z/n) - f(x) \vert^p d\mu(z)) d\mu(x)$

$\displaystyle \leq \int \rho(z) \int \vert f(x- z/n)-f(x)\vert^p d\mu(x) d\mu(z)$

(par le théorème de Fubini [*])

$\displaystyle \leq \int \rho(z) \underbrace{{\parallel}f(.-z/n)-f(.) {\parallel}_p}_{\to 0 \mbox{ (justifié ci-dessous)}}^p d\mu(z)$

$\displaystyle \to 0$

par le théorème de convergence dominée de Lebesgue [*], puisqu'on a convergence simple vers 0, et convergence dominée par $ z\mapsto \rho(z)2^p{\parallel}f {\parallel}_p$ qui est bien une fonction $ L^1$.

$ \bullet $Le fait qu'étant donné $ z$, $ {\parallel}f(.-z/n)-f(.) {\parallel}_p \to 0$ est clair dans le cas où $ f$ est continue, puisqu'alors $ f$ est uniformément continue, et qu'on intègre $ f(.-z/n)-f(.)$ sur un domaine borné (à $ z$ donné).

$ \bullet $Sinon $ f$ s'exprime de toute façon comme limite dans $ L^p$ de fonctions continues à support compact (par le théorème [*]); donc il suffit d'appliquer l'inégalité triangulaire.$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

... $ L^p_c(\mathbb{R}^n)$1.9
Ensemble des fonctions de $ L^p$ à support compact.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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