Théorème
L'ensemble des fonctions à support compact de
est dense dans
, pour .
Démonstration:
En vertu du théorème , il suffit de montrer que l'ensemble des fonctions à support compact de
dans
est dense dans
1.9, pour .
On se donne donc une fonction dans
, pour .
On va utiliser les fonctions et
définies dans le corollaire et la proposition .
On définit alors l'application
.
On pose maintenant tel que , le conjugué de .
Il ne reste plus qu'à calculer :
par l'inégalité de Hölder (théorème )
On déduit du calcul précédent, puisque
par la proposition :
(par le théorème de Fubini )
par le théorème de convergence dominée de Lebesgue , puisqu'on a convergence simple vers 0,
et convergence dominée par
qui est bien une fonction .
Le fait qu'étant donné ,
est clair dans le cas où
est continue, puisqu'alors est uniformément continue, et qu'on intègre
sur un domaine borné (à donné).
Sinon s'exprime de toute façon comme limite dans de fonctions continues à support
compact (par le théorème ); donc il suffit d'appliquer l'inégalité triangulaire.