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Densité de l'ensemble des fonctions à support compact dans

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Densité de l'ensemble des fonctions $C^\infty$ à support compact dans $L^p(\mathbb{R}^n)$

Théorème L'ensemble des fonctions $C^\infty$ à support compact de $\mathbb{R}^n$ est dense dans $L^p(\mathbb{R}^n)$ , pour $p<\infty$ .

Démonstration:

$\bullet$ En vertu du théorème , il suffit de montrer que l'ensemble des fonctions $C^\infty$ à support compact de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ est dense dans $L^p_c(\mathbb{R}^n)$ ^1.9 $\cap C^0(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ , pour $p<\infty$ .

$\bullet$ On se donne donc une fonction dans $L^p_c(\mathbb{R}^n)$ , pour $p<\infty$ .

$\bullet$ On va utiliser les fonctions $\rho$ et $\rho_\epsilon$ définies dans le corollaire et la proposition .

$\bullet$ On définit alors l'application $f*\rho_{1/n}$ .

$\bullet$ On pose maintenant tel que , le conjugué de .

$\bullet$ Il ne reste plus qu'à calculer :

$\displaystyle \vert(f_m-f)(x)\vert$

$\displaystyle \leq \int \rho(z) \vert f(x-z/n) -f(x) \vert d\mu(z)$

$\displaystyle \leq \int \rho(z)^{1/q} \rho(z)^{1/p} \vert f(x-z/n) -f(x) \vert d\mu(z)$

$\displaystyle \leq (\int (\rho(z)^{1/q})^q) d\mu(z))^{1/q} (\int (\rho(z)^{1/p})\vert f(x-z/n)-f(x)\vert)^p d\mu(z))^{1/p}$

par l'inégalité de Hölder (théorème

)

$\displaystyle \leq (\int \rho(z)d\mu(z) )^{1/q} (\int \rho(z) \vert f(x-z/n)-f(x)\vert^p d\mu(z))^{1/p}$

$\bullet$ On déduit du calcul précédent, puisque $\int \rho=1$ par la proposition :

$\displaystyle N^p(f_m-f)^p \leq \int (\int \rho(z) \vert f(x-z/n) - f(x) \vert^p d\mu(z)) d\mu(x)$

$\displaystyle \leq \int \rho(z) \int \vert f(x- z/n)-f(x)\vert^p d\mu(x) d\mu(z)$

(par le théorème de Fubini

)

$\displaystyle \leq \int \rho(z) \underbrace{{\parallel}f(.-z/n)-f(.) {\parallel}_p}_{\to 0 \mbox{ (justifié ci-dessous)}}^p d\mu(z)$

$\displaystyle \to 0$

par le théorème de convergence dominée de Lebesgue

, puisqu'on a convergence simple vers 0, et convergence dominée

par $z\mapsto \rho(z)2^p{\parallel}f {\parallel}_p$ qui est bien une fonction

$\bullet$ Le fait qu'étant donné , ${\parallel}f(.-z/n)-f(.) {\parallel}_p \to 0$ est clair dans le cas où est continue, puisqu'alors est uniformément continue, et qu'on intègre sur un domaine borné (à donné).

$\bullet$ Sinon s'exprime de toute façon comme limite dans de fonctions continues à support compact (par le théorème ); donc il suffit d'appliquer l'inégalité triangulaire. $\sqcap$ $\sqcup$