Théorème [Vitali-Carathéodory]
Soit appartenant à
. Alors pour tout il existe semi-continue supérieurement et semi-continue inférieurement, avec majorée et minorée, telles que
et
Démonstration:On se ramène à positive en considérant , avec et des applications positives.
Ensuite on écrit comme limite d'une suite de fonctions simples
On écrit alors comme limite d'une série de fonctions
étant une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, on peut
écrire
étant dans , on a
.
De par les propriétés de la mesure de Lebesgue, est compris entre
et , avec
.
Il ne reste plus qu'à sommer les
pour déterminer , et un nombre
fini suffisamment grand de
pour déterminer .
par des fonctions semi-continues
appartenant à
il existe 
semi-continue supérieurement
semi-continue inférieurement, avec 
On se ramène à 
, avec 
et 
des applications positives.
de fonctions simples
étant une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, on peut
écrire
est compris entre
et 
, avec
.
pour déterminer 
pour déterminer 
