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Approximation dans $ L^1$ par des fonctions semi-continues

Théorème [Vitali-Carathéodory] Soit $ f$ appartenant à $ L^1(\mathbb{R}^n)$. Alors pour tout $ \epsilon $ il existe $ s$ semi-continue supérieurement et $ i$ semi-continue inférieurement, avec $ s$ majorée et $ i$ minorée, telles que

$\displaystyle s \leq f \leq i $

et

$\displaystyle \int (i-s)d\mu <\epsilon$

Démonstration: $ \bullet $On se ramène à $ f$ positive en considérant $ f=f^+-f^-$, avec $ f^+$ et $ f^-$ des applications positives.
$ \bullet $Ensuite on écrit $ f$ comme limite d'une suite $ s_n$ de fonctions simples
$ \bullet $On écrit alors $ f$ comme limite d'une série de fonctions $ f_n=s_n-s_{n-1}$
$ \bullet $$ f_n$ étant une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, on peut écrire $ f(x)=\sum_{i\in I} {\lambda}_i\chi_{E_i}(x)$
$ \bullet $$ f$ étant dans $ L^1$, on a $ \int f d\mu=\sum_{i\in I} {\lambda}_i \mu(E_i)$.
$ \bullet $De par les propriétés de la mesure de Lebesgue, $ E_i$ est compris entre $ K_i$ et $ U_i$, avec $ \mu(U_i \setminus K_i) \leq \epsilon /2^i$.
$ \bullet $Il ne reste plus qu'à sommer les $ {\lambda}_i.\chi_{U_i}$ pour déterminer $ i$, et un nombre fini suffisamment grand de $ {\lambda}_i.\chi_{K_i}$ pour déterminer $ s$.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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