Théorème [Vitali-Carathéodory]
Soit appartenant à
. Alors pour tout il existe semi-continue supérieurement et semi-continue inférieurement, avec majorée et minorée, telles que
et
Démonstration:On se ramène à positive en considérant , avec et des applications positives.
Ensuite on écrit comme limite d'une suite de fonctions simples
On écrit alors comme limite d'une série de fonctions
étant une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, on peut
écrire
étant dans , on a
.
De par les propriétés de la mesure de Lebesgue, est compris entre
et , avec
.
Il ne reste plus qu'à sommer les
pour déterminer , et un nombre
fini suffisamment grand de
pour déterminer .