Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
187 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Approximation dans pour par des fonctions en escalier à support compact next up previous index
suivant: Approximation dans pour par monter: Autre approche, dans les précédent: Approximation dans par des   Index

Approximation dans $ L^p$ pour $ p<\infty$ par des fonctions en escalier à support compact

Définition Une application à valeurs dans $ \mathbb{R}$ est dite en escalier si c'est une combinaison linéaire (finie) de fonctions caractéristiques d'intervalles de $ \mathbb{R}$. Une application à valeurs dans un espace vectoriel $ F$ est dite en escalier si c'est une combinaison linéaire finie d'applications $ f.\overrightarrow x$ avec $ f$ fonction caractéristique et $ \overrightarrow x$ un élément de $ F$.

Théorème Les classes des fonctions en escalier à support compact constituent un sous-espace vectoriel dense de $ L^p(\mathbb{R}^n)$ pour $ p \in [1,+\infty[$.

Démonstration: $ \bullet $Il est clair qu'il s'agit bien d'un sous-espace vectoriel .
$ \bullet $L'adhérence de ce sous-espace vectoriel contient les fonctions caractéristiques d'ouverts de mesure finie. En effet soit $ U$ un ouvert de mesure finie, $ U=\cup_{i \in J} I_i$ avec $ J$ au plus dénombrable (par exemple $ U=\cup_{i\in \mathbb{N}} U\cap B(0,i)$), avec les $ I_i$ des ouverts bornés, et donc $ f_n=\sup_{i\in [1,n]} \chi_{I_i}$ est majorée par $ \chi_U$, converge simplement vers $ \chi_U$, et donc converge vers $ \chi_U$ pour la norme de $ L^p$ par le théorème [*].
$ \bullet $L'adhérence de ce sous-espace vectoriel contient aussi les fonctions caractéristiques d'ensembles mesurables de mesure finie, comme on s'en convaincra aisément en consultant le théorème [*], montrant que la fonction caractéristique d'un ensemble mesurable est limite de fonctions caractéristiques d'ouverts.
$ \bullet $L'adhérence de ce sous-espace vectoriel contient aussi les fonctions simples. En effet ces fonctions sont des combinaisons linéaires des fonctions précédentes.
$ \bullet $L'adhérence de ce sous-espace vectoriel contient enfin toutes les fonctions intégrables positives, puisque celles-ci sont limites de suites de fonctions simples (voir la proposition [*]) et que le théorème [*] garantit la convergence dans $ L^p$, et donc toutes les fonctions intégrables négatives, et donc toutes les fonctions intégrables. $ \sqcap$$ \sqcup$


next up previous index
suivant: Approximation dans pour par monter: Autre approche, dans les précédent: Approximation dans par des   Index
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page