Approximation dans pour par des fonctions en escalier à support compact

Définition Une application à valeurs dans est dite en escalier si c'est une combinaison linéaire (finie) de fonctions caractéristiques d'intervalles de . Une application à valeurs dans un espace vectoriel est dite en escalier si c'est une combinaison linéaire finie d'applications avec fonction caractéristique et un élément de .

Théorème Les classes des fonctions en escalier à support compact constituent un sous-espace vectoriel dense de pour .

Démonstration: Il est clair qu'il s'agit bien d'un sous-espace vectoriel .
L'adhérence de ce sous-espace vectoriel contient les fonctions caractéristiques d'ouverts de mesure finie. En effet soit un ouvert de mesure finie, avec au plus dénombrable (par exemple ), avec les des ouverts bornés, et donc est majorée par , converge simplement vers , et donc converge vers pour la norme de par le théorème .
L'adhérence de ce sous-espace vectoriel contient aussi les fonctions caractéristiques d'ensembles mesurables de mesure finie, comme on s'en convaincra aisément en consultant le théorème , montrant que la fonction caractéristique d'un ensemble mesurable est limite de fonctions caractéristiques d'ouverts.
L'adhérence de ce sous-espace vectoriel contient aussi les fonctions simples. En effet ces fonctions sont des combinaisons linéaires des fonctions précédentes.
L'adhérence de ce sous-espace vectoriel contient enfin toutes les fonctions intégrables positives, puisque celles-ci sont limites de suites de fonctions simples (voir la proposition ) et que le théorème garantit la convergence dans , et donc toutes les fonctions intégrables négatives, et donc toutes les fonctions intégrables.