Approximation dans pour par des fonctions à support compact
Théorème
Pour
(
), les
classes des fonctions indéfiniment dérivables à support compact constituent
un sous-espace vectoriel dense de
.
Démonstration:Par le théorème précédent, il suffit d'approcher la fonction caractéristique d'un ouvert borné par des fonctions à support compact.
Pour cela on utilise une propriété fondamentale de la mesure de Lebesgue, qui est le fait qu'un ensemble mesurable est compris, pour tout
, entre un compact et un ouvert tels que
.
Il ne reste plus qu'à trouver une fonction , telle que
Construire une telle fonction est précisément l'objet d'une variante du lemme d'Urysohn, voir lemme .