Approximation dans pour par des fonctions à support compact

Pour ( ), les classes des fonctions indéfiniment dérivables à support compact constituent un sous-espace vectoriel dense de .

Démonstration: Par le théorème précédent, il suffit d'approcher la fonction caractéristique d'un ouvert borné par des fonctions à support compact.

Pour cela on utilise une propriété fondamentale de la mesure de Lebesgue, qui est le fait qu'un ensemble mesurable est compris, pour tout , entre un compact et un ouvert tels que .

Il ne reste plus qu'à trouver une fonction , telle que

Construire une telle fonction est précisément l'objet d'une variante du lemme d'Urysohn, voir lemme .