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Approximation dans $ L^p$ pour $ p<\infty$ par des fonctions $ C^\infty$ à support compact

Théorème

Pour $ 1 \leq p < +\infty$ ( $ p \neq +\infty$), les classes des fonctions indéfiniment dérivables à support compact constituent un sous-espace vectoriel dense de $ L^p(\mathbb{R}^n)$.

Démonstration: Par le théorème précédent, il suffit d'approcher la fonction caractéristique d'un ouvert borné par des fonctions $ C^\infty$ à support compact.

Pour cela on utilise une propriété fondamentale de la mesure de Lebesgue, qui est le fait qu'un ensemble mesurable est compris, pour tout $ \epsilon >0$, entre un compact $ K$ et un ouvert $ U$ tels que $ \mu(U\setminus K)<\epsilon $.

Il ne reste plus qu'à trouver une fonction $ \theta$ $ C^\infty$, telle que

$\displaystyle \chi_K \leq \theta \leq \chi_U$

Construire une telle fonction est précisément l'objet d'une variante du lemme d'Urysohn, voir lemme [*].$ \sqcap$$ \sqcup$



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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