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Intercalation d'ouverts relativement compacts entre un ouvert et un compact

Lemme Soit $ X$ un espace séparé localement compact, $ U$ un ouvert de $ X$, et $ K$ un ensemble compact inclus dans $ U$. Alors il existe un ouvert $ V$ de $ X$ relativement compact 1.1 tel que $ K \subset V \subset \overline V \subset U$.

Application(s)... Le lemme d'Urysohn [*] se prouve facilement en utilisant ce résultat.

Démonstration: $ \bullet $Construisons tout d'abord $ V$ ouvert contenant $ K$, avec $ \overline V$ compact

- Soit $ K_x$ un voisinage compact de $ x$, pour $ x\in K$

- Soit $ V_x$ l'intérieur de $ K_x$

- Les $ V_x$ recouvrent $ K$, on peut donc en extraire un recouvrement fini $ \cup_{x\in I} V_x$

- la réunion $ V$ des $ V_x$, pour $ x$ dans $ I$, convient.

$ \bullet $Si $ U=X$, $ V$ convient.

$ \bullet $Sinon, soit $ F$ le complémentaire de $ U$. Bien entendu il est fermé.

$ \bullet $Pour $ x$ dans $ F$ définissons $ T_x$ ouvert contenant $ K$ avec $ x\not \in T_x$. Un tel ouvert existe, par le théorème [*].

$ \bullet $Définissons alors $ K_x=\overline T_x \cap F \cap \overline V$ (voir figure [*].

$ \bullet $L'intersection des $ K_x$ pour $ x$ dans $ F$ est vide, car chaque $ x$ de $ F$ n'appartient pas à $ T_x$, donc pas à $ \cap_y T_y$.

$ \bullet $Les $ K_x$ sont fermés dans un compact $ \overline V$. Donc par la propriété [*], on peut en extraire une sous-famille $ (K_x)_{x\in J}$ finie telle que l'intersection soit vide.

$ \bullet $Alors $ \cap_{x\in J} T_x \cap V$ convient (rappelons qu'un fermé d'un compact est compact, voir corollaire [*]).$ \sqcap$$ \sqcup$

Figure: Construction de $ K_x$ pour $ x\in F$.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =5cm
\epsfbox{vachier.eps}\end{displaymath}\end{figure}



Notes

...','BiblioTex','scrollbars=yes,width=300,height=300')">1.1
C'est-à-dire d'adhérence dans $ X$ compacte.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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