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Séparation d'un compact et d'un fermé

Lemme [Lemme d'Urysohn] Soit $ X$ un espace topologique séparé localement compact, $ U$ un ouvert de $ X$, $ K$ un compact de $ X$ inclus dans $ U$. Alors il existe une fonction $ f$ continue de $ X$ dans $ [0,1]$ telle que

$\displaystyle x \in K \to f(x)=1$

$\displaystyle x \not \in U \to f(x)=0$

Attention! Ne pas utiliser un théorème difficile dans un cas simple: dans le cas d'un espace métrique, la fonction qui à $ x$ associe $ \frac{d(x,X\setminus U)}{d(x,X\setminus U)+d(x,K)}$ convient.

Attention! Dans le cas de $ \mathbb{R}^n$, on trouvera une preuve plus simple avec le théorème [*] (utilisant la convolution). En outre, la fonction construite sera $ C^\infty$.

Pour y voir plus clair Cela revient à avoir un compact, un fermé disjoint du compact, et à définir une fonction continue égale à $ 1$ sur le compact et à 0 sur le fermé.

Démonstration:

$ \bullet $Par le lemme [*] (appliqué deux fois), construisons $ V_0$ et $ V_1$ deux ouverts relativement compacts 1.2 tels que

$\displaystyle K\subset V_0 \subset \overline V_0 \subset V_1 \subset \overline V_1 \subset U$

$ \bullet $Soit $ q_0,...,q_n,...$ une bijection de $ \mathbb{N}$ sur $ \mathbb{Q}\cap [0,1]$, avec $ q_0=0$ et $ q_1=1$.

$ \bullet $Supposons construits $ (V_{q_i})$ pour $ i\in \{0,1,...n\}$ des ouverts relativement compacts tels que $ q_i<q_j$ implique $ \overline V_{q_i} \subset V_{q_j}$ pour $ i$ et $ j$ dans $ \{0,1,...n\}$.

$ \bullet $Alors le lemme [*] permet de construire $ V_{q_{n+1}}$.

$ \bullet $On construit ainsi une famille de fermés indexés par les éléments de $ Ratio=\mathbb{Q}\cap [0,1]$, avec $ q<p \Rightarrow \overline V_q \subset V_p$.

$ \bullet $Définissons alors, pour $ q \in Ratio$, $ f_q=(1-q)\chi_{V_q}$, et $ g_q=q\chi_{\overline V_q} + (1-q)$ (voir figure [*]).

$ \bullet $Puis $ f=sup_{q\in Ratio} f_q$, et $ g=inf_{q\in Ratio} g_q$.

$ \bullet $Nous avons donc, par la proposition [*], $ f$ semi-continue inférieurement et $ g$ semi-continue supérieurement.

Figure: Graphe de $ f_q$ (à gauche) et $ g_q$ (à droite).
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =8cm
\epsfbox{graphes.eps}\end{displaymath}\end{figure}

$ \bullet $Il est clair que $ \chi_K \leq g$ et $ \chi_U \geq f$.

$ \bullet $Il suffit de montrer (par la proposition [*]) que $ f=g$; ainsi $ f$, semi-continue à la fois supérieurement et inférieurement, sera continue.

$ \bullet $Supposons que $ f(x)>g(x)$.

- Alors $ \exists p,q\in Ratio$ tels que

$\displaystyle f_p(x) > g_q(x)$

- Donc $ x \not \in V_q$, $ x \in V_p$, et donc $ q<p$

- Par contre (voir figure [*]) $ 1-p > 1-q$; ce qui est contradictoire avec $ q<p$.

$ \bullet $Supposons maintenant que $ f(x)<g(x)$.

- Alors on peut trouver $ (p,q)\in Ratio^2$ tels que

$\displaystyle f(x) < 1-p < 1-q < g(x)$

- Alors par définition du sup et de l'inf:

$\displaystyle f_p(x)<1-p < 1-q < g_q(x)$

- On en déduit alors $ x\not \in V_p$ et $ x\in V_q$, ce qui implique $ p<q$, et contredit $ 1-p<1-q$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... On trouvera par exemple une application dans la partie [*] sur le cube de Hilbert. Les autres versions de lemmes d'Urysohn (voir lemme [*]) auront d'autres applications.



Notes

...','BiblioTex','scrollbars=yes,width=300,height=300')">1.2
D' adhérences compactes.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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