Approximation d'un ensemble mesurable par une fonction

Proposition Soit un ensemble mesurable de mesure finie de , et soit .

Alors il existe une fonction telle que

avec l'ensemble des éléments à distance de .

Démonstration:

Soit un tel ensemble.

Définissons , avec la fonction définie par le corollaire (de support inclus dans et d'intégrale , étant en outre de classe ).

est bien définie et , car et sont (voir propriété du produit de convolution).

est , par la propriété .

Tout d'abord on remarque que

En effet, si , alors est l'intégrale de sur une boule de rayon (sur cette boule en effet vaut - l'intégrale de y est donc égale à l'intégrale de , donc ).

Ensuite pour assez grand.

- on le montre tout d'abord pour . Pour cela, si , on note que , alors si ,

- est par ailleurs toujours inférieure à . D'où le résultat, en choisissant pour assez grand.