Proposition
Soit un ensemble mesurable de mesure finie de
, et soit
.
Alors il existe une fonction telle que
avec l'ensemble des éléments à distance de .
Démonstration:
Soit un tel ensemble.
Définissons
, avec
la fonction définie par le corollaire (de support inclus dans et d'intégrale , étant en outre de classe ).
est bien définie et , car
et
sont (voir propriété du produit de convolution).
est , par la propriété .
Tout d'abord on remarque que
En effet, si , alors est l'intégrale
de
sur une boule de rayon (sur cette boule
en effet
vaut - l'intégrale de y est donc égale à l'intégrale de
, donc ).
Ensuite
pour assez grand.
- on le montre tout d'abord pour
.
Pour cela, si
, on note que
, alors
si
,
- est par ailleurs toujours inférieure à .
D'où le résultat, en choisissant pour assez grand.