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Approximation d'un ensemble mesurable par une fonction $ C^\infty$

Proposition Soit $ E$ un ensemble mesurable de mesure finie de $ \mathbb{R}^n$, et soit $ \epsilon >0$.

Alors il existe une fonction $ f$ $ C^\infty$ telle que

$\displaystyle \chi_E \leq f \leq \chi_{V_{2\epsilon }(E)}$

avec $ V_{t}(E)$ l'ensemble des éléments à distance $ <t$ de $ E$.

Démonstration:

$ \bullet $Soit $ E$ un tel ensemble.

$ \bullet $Définissons $ f_n=\chi_{V_{1/n}(E)}*\rho_{1/n}$, avec $ \rho_{1/n}$ la fonction définie par le corollaire [*] (de support inclus dans $ B(0,1/n)$ et d'intégrale $ 1$, étant en outre de classe $ C^\infty$).

$ \bullet $$ f_n$ est bien définie et $ L^1$, car $ \rho_{1/n}$ et $ \chi_{V_{1/n}(E)}$ sont $ L^1$ (voir propriété [*] du produit de convolution).

$ \bullet $$ f_n$ est $ C^\infty$, par la propriété [*].

$ \bullet $Tout d'abord on remarque que $ \chi_E \leq f_n$

En effet, si $ x\in E$, alors $ f_n(x)$ est l'intégrale de $ \rho_{1/n}$ sur une boule de rayon $ \epsilon $ (sur cette boule en effet $ \chi_{V_{1/n}(E)}$ vaut $ 1$ - l'intégrale de $ f_n$ y est donc égale à l'intégrale de $ \rho_{1/n}$, donc $ 1$).

$ \bullet $Ensuite $ f_n \leq \chi_{V_{2\epsilon }(E)}$ pour $ n$ assez grand.

- on le montre tout d'abord pour $ \chi_{V_{2\epsilon }(E)}(x)=0$. Pour cela, si $ \chi_{V_{2\epsilon }(E)}(x)=0$, on note que $ d(x,E) > 3\epsilon /2$, alors si $ 1/n\leq \epsilon $,

$\displaystyle f_n(x)=\int \chi_{V_{1/n}(E)}(x-y)\rho(y)d\mu(y)$

$\displaystyle =\int_{{\parallel}y {\parallel}\leq 1/n} \chi_{V_{1/n}}(x-y)\rho_{1/n}(y)d\mu(y)$

$\displaystyle =0$

- $ f$ est par ailleurs toujours inférieure à $ 1$. D'où le résultat, en choisissant $ f=f_n$ pour $ n$ assez grand.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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