Il ne s'agit ici d'une version dans
du lemme d'Urysohn.
On trouvera une version beaucoup plus générale (espace localement
compact séparé) avec le lemme . Mais pour des
applications de la vie de tous les jours, ce théorème suffit, et
peut même s'avérer plus puissant, puisqu'il fournit une fonction
et non simplement une fonction continue.
Théorème [Lemme d'Urysohn, deuxième version]
Soit un compact de
, un ouvert de
contenant , alors il existe une fonction
à support compact telle que
.
Il est plus élégant de se passer d'invoquer un tel théorème lorsque l'on peut construire manuellement une solution élégante. Notamment on peut construire manuellement une fonction de
dans
comprise entre
et
. En effet, définissons
Cette fonction est , comme expliqué en , et sur .
On définit alors
.
est , comme on s'en convainc en dérivant sous le signe l'expression suivante (équivalente par un simple changement de variable)
(voir théorème ). Attention, pour appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme, il faut bien voir que chaque dérivée est majorée par une fonction , ce qui n'est pas difficile en l'occurence, puisque toutes les dérivées sont continues à support compact.
Il est ensuite évident que est strictement sur , nulle sur
, et comprise entre 0 et partout.
On construit de même, pour ouvert contenant la boule unité fermée, en considérant pour assez grand, une fonction égale à sur
, et nulle en dehors de .
Voir par exemple ou les théorèmes , et .
Démonstration:
Il faut tout d'abord se rappeler que la distance entre un compact et un fermé disjoints est toujours (en effet la distance au fermé est continue, par la proposition , et donc son minimum est atteint sur le compact).