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Lemme d'Urysohn

Il ne s'agit ici d'une version dans $ \mathbb{R}^n$ du lemme d'Urysohn. On trouvera une version beaucoup plus générale (espace localement compact séparé) avec le lemme [*]. Mais pour des applications de la vie de tous les jours, ce théorème suffit, et peut même s'avérer plus puissant, puisqu'il fournit une fonction $ C^\infty$ et non simplement une fonction continue.

Théorème [Lemme d'Urysohn, deuxième version] Soit $ K$ un compact de $ \mathbb{R}^n$, $ \Omega$ un ouvert de $ \mathbb{R}^n$ contenant $ K$, alors il existe une fonction $ f$ $ C^\infty$ à support compact telle que $ \chi_K \leq f \leq \chi_\Omega$.

Remarque Il est plus élégant de se passer d'invoquer un tel théorème lorsque l'on peut construire manuellement une solution élégante. Notamment on peut construire manuellement une fonction $ C^\infty$ de $ \mathbb{R}^N$ dans $ \mathbb{R}$ comprise entre $ \chi_{\overline B(0,n)}$ et $ \chi_{\overline B(0,n+1)}$. En effet, définissons

$\displaystyle f_{\vert B(0,1)}(x)=e^{-\frac{1}{1-{\parallel}x {\parallel}^2}}$

$\displaystyle f_{\vert B(0,1)^c}(x)=0$

Cette fonction est $ C^\infty$, comme expliqué en [*], et $ >0$ sur $ B(0,1)$.

On définit alors $ F_n(x)=\int_{B_(x,n)} f(t)d\mu(t)$.

$ F_n$ est $ C^\infty$, comme on s'en convainc en dérivant sous le signe $ \int$ l'expression suivante (équivalente par un simple changement de variable) $ F_n(x)=\int_{B(0,n)} f(x+t)d\mu(t)$ (voir théorème [*]). Attention, pour appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme, il faut bien voir que chaque dérivée $ D^\nu f$ est majorée par une fonction $ L^1$, ce qui n'est pas difficile en l'occurence, puisque toutes les dérivées $ D^\nu f$ sont continues à support compact.

Il est ensuite évident que $ F_n$ est strictement $ >0$ sur $ B(0,n)$, nulle sur $ B(0,n+1)^c$, et comprise entre 0 et $ 1$ partout.

On construit de même, pour $ \Omega$ ouvert contenant la boule unité fermée, en considérant $ F_n(x/n)$ pour $ n$ assez grand, une fonction égale à $ 1$ sur $ \overline B(0,1)$, et nulle en dehors de $ \Omega$.

Application(s)... Voir par exemple [*] ou les théorèmes [*], [*] et [*].

Démonstration:

$ \bullet $Il faut tout d'abord se rappeler que la distance entre un compact et un fermé disjoints est toujours $ >0$ (en effet la distance au fermé est continue, par la proposition [*], et donc son minimum est atteint sur le compact).

$ \bullet $Ensuite on applique le lemme [*].$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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