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Lemme d'Urysohn

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Lemme d'Urysohn

Il ne s'agit ici d'une version dans $\mathbb{R}^n$ du lemme d'Urysohn. On trouvera une version beaucoup plus générale (espace localement compact séparé) avec le lemme . Mais pour des applications de la vie de tous les jours, ce théorème suffit, et peut même s'avérer plus puissant, puisqu'il fournit une fonction $C^\infty$ et non simplement une fonction continue.

Théorème [Lemme d'Urysohn, deuxième version] Soit un compact de $\mathbb{R}^n$ , $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant , alors il existe une fonction $C^\infty$ à support compact telle que $\chi_K \leq f \leq \chi_\Omega$ .

Il est plus élégant de se passer d'invoquer un tel théorème lorsque l'on peut construire manuellement une solution élégante. Notamment on peut construire manuellement une fonction $C^\infty$ de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}$ comprise entre $\chi_{\overline B(0,n)}$ et $\chi_{\overline B(0,n+1)}$ . En effet, définissons

$\displaystyle f_{\vert B(0,1)}(x)=e^{-\frac{1}{1-{\parallel}x {\parallel}^2}}$

$\displaystyle f_{\vert B(0,1)^c}(x)=0$

Cette fonction est $C^\infty$ , comme expliqué en

, et

sur

On définit alors $F_n(x)=\int_{B_(x,n)} f(t)d\mu(t)$ .

est $C^\infty$ , comme on s'en convainc en dérivant sous le signe $\int$ l'expression suivante (équivalente par un simple changement de variable) $F_n(x)=\int_{B(0,n)} f(x+t)d\mu(t)$ (voir théorème ). Attention, pour appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme, il faut bien voir que chaque dérivée $D^\nu f$ est majorée par une fonction , ce qui n'est pas difficile en l'occurence, puisque toutes les dérivées $D^\nu f$ sont continues à support compact.

Il est ensuite évident que est strictement sur , nulle sur , et comprise entre 0 et partout.

On construit de même, pour $\Omega$ ouvert contenant la boule unité fermée, en considérant pour assez grand, une fonction égale à sur $\overline B(0,1)$ , et nulle en dehors de $\Omega$ .

Voir par exemple ou les théorèmes , et .

Démonstration:

$\bullet$ Il faut tout d'abord se rappeler que la distance entre un compact et un fermé disjoints est toujours (en effet la distance au fermé est continue, par la proposition , et donc son minimum est atteint sur le compact).