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Partition $ C^\infty$ de l'unité

Théorème [Partition $ C^\infty$ de l'unité]

Soit $ K$ un compact inclus dans $ \mathbb{R}^n$, inclus dans la réunion des $ \Omega_i$ pour $ i\in [1,p]$, avec $ \Omega_i$ ouvert.

Alors il existe $ f_1,...,f_p$ des applications $ C^\infty$ telles que le support de $ f_i$ soit inclus dans $ \Omega_i$ pour tout $ i\in [1,p]$, avec

$\displaystyle \chi_K \leq \sum_{i\in [1,p]} f_i \leq 1$

Démonstration:

$ \bullet $On considère la famille $ (B_i)_{i\in I}$ des boules $ B$ telles qu'il existe $ i\in [1,p]$ tel que $ B \subset \Omega_i$ 1.3. Etant donné $ i$ dans $ I$ on note $ Num(i)$ un entier tel que $ B_i\subset \Omega_{Num(i)}$.

$ \bullet $Puisque $ K$ est compact, et puisque $ K$ est (clairement!) réunion des $ (B_i)_{i\in I}$, on se restreint à une réunion finie $ (B_i)_{i\in J}$, recouvrant $ K$.

$ \bullet $Commençons par prouver le théorème, sans se préoccuper de la contrainte $ \sum_i f_i \leq 1$.

$ \bullet $Pour cela, définissons $ Ury_i$, pour $ i\in J$, une fonction $ C^\infty$ égale à $ 1$ sur $ B_i$ et nulle en dehors de $ \Omega_{Num(i)}$. Cela se fait par le lemme d'Urysohn, version [*], ou éventuellement par la remarque qui suit le dit lemme, qui montre que dans ce cas particulier on peut se passer du résultat général.

$ \bullet $On définit maintenant $ MetaUry_i$, pour $ i\in [1,p]$, la somme des $ Ury_j$, pour $ j\in J$ et $ Num(j)=i$.

$ \bullet $Il est clair, comme annoncé plus haut, que la famille $ (MetaUry_i)_i$, vérifie le théorème énoncé, à ceci près que la somme n'est pas nécéssairement inférieure ou égale à $ 1$.

$ \bullet $On se donne maintenant une fonction $ f$ $ C^\infty$ comprise entre $ \chi_K$ et $ \chi_{V_\epsilon (K)}$ 1.4, avec $ \epsilon $ inférieur au double de la distance du compact au fermé $ F$ défini par son complémentaire:

$\displaystyle F^c=\{x/ \sum_{i\in[1,p]} MetaUry_i(x)>0\}$

$ \bullet $On définit alors $ f_i$ pour $ i\in [1,p]$ par $ f_i(x)=\frac{g_i(x) f(x)}{\sum_{j=1}^n g_j(x)}$ si $ x\in F^c$, et $ f_i=0$ sinon.

$ \bullet $On vérifie facilement que la famille ainsi construire convient.$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

...\space 1.3
$ \exists i \in [1,p]$ tel que $ B \subset \Omega_i$ et pas $ B \subset \cup_{i\in [1,p]} \Omega_i$!
...\space 1.4
$ V_\epsilon (K)$, dit $ \epsilon $-voisinage de $ K$, est l'ensemble des points situés à une distance $ <\epsilon $ de $ K$.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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