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Approximation de fonctions continues

Théorème [Théorème de Stone] On se donne $ K$ un compact, et $ A$ une sous-algèbre unitaire de l'algèbre $ C^0(K,\mathbb{R})$ des fonctions continues à valeurs réelles sur $ \mathbb{K}$, munie de la norme $ f \mapsto {\parallel}f {\parallel}_\infty = sup_{x\in K} \vert f(x)\vert$.

On suppose que $ A$ sépare les points de $ K$, c'est à dire qu'étant donné $ x$ et $ y$ dans $ K$ il existe $ f$ dans $ A$ tel que $ f(x) \neq f(y)$.

Alors $ A$ est dense dans $ C^0(K,\mathbb{R})$.

Démonstration:

$ \bullet $On montre tout d'abord que $ x \mapsto \sqrt{x}$ définie sur $ [0,1]$ est dans l'adhérence de l'ensemble des polynômes, pour la norme $ {\parallel}. {\parallel}_\infty$. Pour cela on considère le développement de $ x \mapsto \sqrt{1-x}$; qui est bien défini sur $ [0,1[$. Le problème est le développement en $ 1$. On observe alors que:

- On a $ \sqrt{1-t}=1-\sum a_i.t^i$, avec les $ a_i$ positifs, pour $ t \in [0,1[$

- Et $ \sum_{i\in [0,n]} a_i t^i$ est majoré par $ 1-\sqrt{1-t}$, donc par $ 1$, pour tout $ t$; en prolongeant par continuité, $ \sum_{i \in [0,n]} a_i$ est majoré par $ 1$. En passant à la limite pour $ n\to +\infty$, $ \sum_{i \in [0,n]} a_i$ est majoré par $ 1$.

Le reste $ \sum_{i \geq n} a_i.t^i$ est alors majoré par $ \sum_{i\geq n} a_i$, qui tend vers 0 quand $ n \to \infty$, indépendamment de $ t$, donc...

Il ne reste plus qu'à composer par $ t\mapsto 1-t$ pour avoir le résultat désiré: $ x \mapsto \sqrt x$ est approchable uniformément par des polynômes sur $ [0,1]$.

$ \bullet $Montrons maintenant que si $ f$ est dans $ A$, alors $ \vert f\vert$ est dans $ A$. On se donne $ racine_n(t)$ le $ n$-ième polynôme d'une suite de polynômes tendant vers $ \sqrt{t}$ sur $ [0,1]$. On suppose $ f$ comprise entre $ -1$ et $ 1$ (on peut se ramener à ce cas-là en divisant $ f$ par une constante suffisamment grande - on utilise ici le fait que $ A$ est unitaire (et donc contient les constantes)). Alors on constate que

$\displaystyle racine_n(f.f) \to \vert f\vert$   uniformément

$ \bullet $On montre maintenant que si $ n$ fonctions $ f_1,...,f_n$ sont dans $ A$, alors
$ max \{f_1,f_2,...,f_n\}$ (resp. $ min \{f_1,f_2,...,f_n\}$) est dans l'adhérence de $ A$; en effet on peut toujours exprimer le max (resp. le min) d'un ensemble fini de fonctions $ f_i$ par des sommes et différences finies des $ f_i$ et de $ \vert f_i\vert$ (or $ \vert f_i\vert$ est dans l'adhérence de $ A$ par le point ci-dessus).

$ \bullet $On montre maintenant qu'étant donnés deux points $ x$ et $ y$ distincts de $ [0,1]$ et deux réels $ X$ et $ Y$, il existe une application $ f$ dans $ A$ telle que $ f(x)=X$ et $ f(y)=Y$... Cela est facile en rappelant que $ A$ contient les constantes (puisqu'elle est unitaire) et que $ A$ sépare les points.

$ \bullet $On se donne maintenant une fonction $ f$ dans $ C^0(K,\mathbb{R})$, $ \epsilon >0$ et $ x$ dans $ K$. On cherche à montrer qu'il existe $ g$ dans $ A$ telle que $ g(x)=f(x)$ et $ g(t)<f(t)+\epsilon $ pour tout $ t$ dans $ \mathbb{K}$.

Pour cela on considère, en utilisant le $ \bullet $démontré ci-dessus, pour tout $ t$ dans $ K$ une fonction $ f_t$ de $ A$ égale à $ f$ en $ x$ et inférieure à $ x+\epsilon /2$ en $ t$. On considère alors pout tout $ t$ dans $ K$ l'ouvert $ U_t$ surlequel $ f_t$ est inférieure à $ f+\epsilon $; les $ U_t$ recouvrent $ K$ et on peut donc en extraire un recouvrement fini $ U=\cup_{t\in E} U_t$, avec $ E$ fini. Il ne reste alors qu'à considérer la fonction $ min$ des fonctions $ f_t$ pour $ t\in E$, et on a bien une fonction comme souhaitée.

$ \bullet $Maintenant on se donne une fonction $ f$ dans $ C^0(K,\mathbb{R})$, et on cherche à montrer que l'on peut approcher $ f$ uniformément par des fonctions de $ A$; on aura ainsi conclu le théorème.

Pour cela, on se donne $ \epsilon $, et on associe à tout $ t$ dans $ K$ une fonction $ g_t$ égale à $ f$ en $ t$, inférieure à $ f+\epsilon $ (grâce au $ \bullet $ci-dessus). On peut alors associer à tout $ t$ un ouvert $ V_t$ tel que $ g_t>f-\epsilon $ sur $ V_t$. On peut alors prendre pour fonction $ g$ le $ max$ des $ g_t$ pour $ t \in F$, avec $ F$ fini tel que l'union des $ V_t$ pour $ t \in F$, et on a bien $ f-g < \epsilon $.$ \sqcap$$ \sqcup$

Un corollaire important est la densité de l'ensemble des polynômes trigonométriques dans l'ensembles des fonctions $ 2\Pi$-périodiques continues. Un autre corollaire est le suivant:

Corollaire [Théorème de Weierstrass] L'ensemble des polynômes sur un compact $ K$ de $ \mathbb{R}$ et à coefficients dans $ \mathbb{R}$ est dense dans l'ensemble des fonctions continues de $ K$ dans $ \mathbb{R}$, pour la norme uniforme $ {\parallel}. {\parallel}_\infty$.

Démonstration: C'est un corollaire immédiat du théorème de Stone ci-dessus.$ \sqcap$$ \sqcup$

Il existe une autre preuve du théorème de Weierstrass, basée sur des arguments de probabilité. En fait précisément, ce corollaire est aussi un corollaire du théorème ci-dessous.

Théorème

Soit $ f$ une application continue de $ [0,1]$ dans $ \mathbb{R}$.

On définit $ B_n(x)=\sum_{k=0}^n C_n^kf(\frac kn) x^k(1-x)^{n-k}$, $ n$-ième polynôme de Bernstein associé à $ f$.

Alors la suite $ B_n$ converge uniformément vers $ f$.

Démonstration: On remarque que $ B_n(x)$ est précisément l'espérance de $ f(\frac Xn)$, avec $ X$ suivant une loi binomiale $ B(n,x)$.

On utilise alors le module de continuité $ w(f,\partial )$ par

$\displaystyle w(f,\partial )=sup_{\vert x-y\vert<\partial } \vert f(x)-f(y)\vert$

il est bien à valeurs dans $ \mathbb{R}$ car $ f$ est continue sur un compact.

Notons $ M=sup \vert f\vert$.

Alors $ \vert f(x)-B_n(x)\vert\leq$

$\displaystyle w(f,\partial ) P(\vert\frac Xn -x\vert\leq \partial )+M P(\frac Xn -x\geq \partial )+M P(\frac Xn-x\leq -\partial )$

$\displaystyle \leq w(f,\partial ) + 2M \frac1{n^2\partial ^2} Var(X)$

(grâce à l'inégalité de Tchebytchev [*])

$\displaystyle \leq w(f,\partial ) + \frac{M}{2n\partial ^2}$

$\displaystyle \to 0$    quand $\displaystyle n\to \infty$

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! Attention! Le théorème n'est valable que dans le cas des fonctions continues de $ K\subset \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$; par exemple si l'on considère l'ensemble des fonctions continues de $ K \subset \mathbb{C}$ dans $ \mathbb{C}$, on constate que l'on ne peut pas approcher $ z \mapsto \overline z$ du disque unité fermé dans le disque unité fermé, car

$\displaystyle \int_0^{2\Pi} f(e^{i\theta}).e^{i\theta}d\theta=2\Pi$

et donc si on suppose que la suite de polynômes $ P_n$ tend uniformément vers $ z \mapsto \overline z$, la suite d'intégrales ci-dessous tend vers $ 2\Pi$:

$\displaystyle \int_0^{2\Pi} P_n(e^{i\theta}).e^{i\theta}d\theta$

Or toutes les intégrales de cette suite sont nulles (considérer l'intégrale monôme par monôme pour s'en convaincre!).

Pour que tout s'arrange, il faudrait des polynômes en $ z$ ET $ \overline z$.

Théorème [Stone, version complexe] On se donne $ A$ une sous-algèbre unitaire de l'ensemble des fonctions continues de $ K$ un compact à valeurs dans $ \mathbb{C}$, stable par passage au conjugué et séparant les points de $ K$.

Alors $ A$ est dense dans $ C(K,\mathbb{C})$ pour la norme $ {\parallel}. {\parallel}_\infty$.

Démonstration:

$ \bullet $ $ Re f=(f+\overline f)/2$ et $ Im f=(f-\overline f)/2i$; or $ A$ est stable par passage au conjugué, donc les parties réelles et imaginaires de fonctions de $ A$ sont dans $ A$.

$ \bullet $la sous-algèbre des fonctions réelles de $ A$ sépare les points. En effet, soit $ x$ et $ y$ distincts, il existe une fonction $ f$ qui sépare $ x$ et $ y$; soit la partie réelle de $ f$ les sépare, soit la partie imaginaire de $ f$ les sépare. Dans le premier cas on a bien ce qu'on veut (une fonction réelle de $ A$ qui les sépare), dans le deuxième cas on multiplie par $ i$ (on considère $ i\times Im f$) et cette fonction les sépare.

$ \bullet $en appliquant le théorème dans le cas réel, on peut donc conclure en approchant séparément la partie réelle et la partie imaginaire.$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! L'hypothèse sur la stabilité de $ A$ par passage au conjugué est indispensable! En effet, on considère l'algèbre $ \mathbb{C}[x]$, et l'application du disque unité fermé dans lui-même, définie par $ z \mapsto \overline z$ n'est pas holomorphe, et donc ne peut être dans l'adhérence de $ \mathbb{C}[x]$ (rappel: une limite uniforme de fonctions holomorphes est holomorphe).

FLEMMARD Elebeau n'y croit pas moi je crois que c'est ok


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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