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Approximation de fonctions mesurables

Théorème [Lusin] Soit $ f$ une application mesurable de $ \mathbb{R}^n$ dans $ \mathbb{C}$, dont le support est inclus dans $ E$ de mesure finie. Alors pour tout $ \epsilon $ il existe $ g$ continue de $ \mathbb{R}^n$ dans $ \mathbb{C}$ telle que:
$ \bullet $ $ \mu(\{x / f(x) \neq g(x)\}) < \epsilon $
$ \bullet $ $ sup \vert g(x)\vert \leq sup \vert f(x)\vert$

Remarque L'hypothèse "support inclus dans $ E$ de mesure finie" peut être oubliée. En effet, en résumé, on peut considérer les $ g_i=f_{\vert U_i}$ pour $ i$ dans $ \mathbb{N}$, avec $ U_i$ boule de centre 0 et de rayon $ i$; alors on peut "approcher" $ g_i$ par $ h_i$ égale à $ g_i$ sauf sur un ensemble de mesure $ <\frac{\epsilon }{2^{i+1}}$, et avec $ \sup h_i\leq \sup g_i$. En "recollant" les $ h_i$ on arrive à une fonction proche de $ f$.

Démonstration:

$ \bullet $On laisse de côté la fonction nulle.

$ \bullet $Premier cas: $ 0 \leq f \leq 1$ et $ E$ compact, $ \sup  f=1$.

- Donnons nous $ \epsilon >0$

- $ f$ est limite croissante d'une série croissante de fonctions simples $ (s_n)$, égales à des fonctions caractéristiques d'ensembles mesurables $ (E_n)$, comme expliqué pendant la preuve de la proposition [*].

- On considère $ R$ suffisamment grand pour que $ E \subset B(0,R)$.

- Pour tout $ n$ on se donne $ K_n$ un compact et $ \Omega_n$ un ouvert inclus dans $ B(0,R)$ avec $ K_n \subset E_n \subset \Omega_n \subset B(0,R)$, et $ \mu(\Omega_n-K_n)<\epsilon .2^{-n}$ (possible grâce au théorème [*]).

- Grâce au lemme d'Urysohn [*] ou [*], on se donne une fonction $ f_n$ telle que $ \chi_{K_n} \leq f_n \leq \chi_{\Omega_n}$.

- Il ne reste plus qu'à sommer $ g(x)=\sum_{n\in\mathbb{N}} \frac{f_n}{2^n}$.

- $ g$ est continue, comme somme convergeant normalement d'une série de fonctions continues (proposition [*]).

- Sur le complémentaire de la réunion des $ \Omega_n\setminus K_n$, $ f=g$. Cette réunion est de mesure $ \leq\epsilon $

- On a bien $ \vert g\vert\leq \sup f$, puisque chaque $ f_n$ est majorée par $ 1$.

D'où le résultat dans le cadre qu'on s'était donné, ie $ 0 \leq f < 1$ et $ E$ compact.

$ \bullet $Passons au cas d'une fonction $ f$ telle que $ 0 \leq f \leq 1$, sans hypothèse de compacité sur $ E$.

- Donnons nous $ \epsilon >0$

- Il existe un compact $ K$ tel que la mesure de $ E\setminus K$ soit inférieur à $ \epsilon $.

- On peut donc travailler sur la restriction de $ f$ à $ K$ pour construire $ g$, et on a encore le résultat désiré.

$ \bullet $Passons maintenant au cas d'une fonction $ f$ bornée.

- En considérant $ f^+$ et $ f^-$ 1.5, et en multipliant par une constante pertinente pour se ramener à des fonctions à valeurs dans $ [0,1]$, on a aussi le résultat désiré.

$ \bullet $On peut maintenant considérer le cas le plus général.

- Considérons $ A_m=\{x\in \mathbb{R}^n / \vert f(x)\vert>m \}$. $ A_0$ est de mesure finie; on peut donc appliquer la proposition [*] pour conclure que la mesure des $ A_m$ tend vers 0 quand $ m\to \infty$.

- On se donne donc $ m$ tel que $ \mu(A_m)<\epsilon $.

- On peut donc appliquer le résultat partiel ci-dessus à la fonction $ f.\chi_{A_m^c}$ (fonction produit de $ f$ par la fonction caractéristique du complémentaire de $ A_m$, c'est à dire fonction égale à $ f$ sur le complémentaire de $ A_m$ et à 0 partout ailleurs).

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

...\space 1.5
$ f^+(x)=max(f(x),0)$, $ f^-(x)=max(-f(x),0)$

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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