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Approximation de fonctions mesurables

Théorème [Lusin] Soit une application mesurable de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{C}$ , dont le support est inclus dans de mesure finie. Alors pour tout $\epsilon$ il existe continue de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{C}$ telle que:
$\bullet$ $\mu(\{x / f(x) \neq g(x)\}) < \epsilon$
$\bullet$ $sup \vert g(x)\vert \leq sup \vert f(x)\vert$

L'hypothèse "support inclus dans de mesure finie" peut être oubliée. En effet, en résumé, on peut considérer les $g_i=f_{\vert U_i}$ pour dans $\mathbb{N}$ , avec boule de centre 0 et de rayon ; alors on peut "approcher" par égale à sauf sur un ensemble de mesure $<\frac{\epsilon }{2^{i+1}}$ , et avec $\sup h_i\leq \sup g_i$ . En "recollant" les on arrive à une fonction proche de .

Démonstration:

$\bullet$ On laisse de côté la fonction nulle.

$\bullet$ Premier cas: $0 \leq f \leq 1$ et compact, $\sup f=1$ .

- Donnons nous $\epsilon >0$

- est limite croissante d'une série croissante de fonctions simples , égales à des fonctions caractéristiques d'ensembles mesurables , comme expliqué pendant la preuve de la proposition .

- On considère suffisamment grand pour que $E \subset B(0,R)$ .

- Pour tout on se donne un compact et $\Omega_n$ un ouvert inclus dans avec $K_n \subset E_n \subset \Omega_n \subset B(0,R)$ , et $\mu(\Omega_n-K_n)<\epsilon .2^{-n}$ (possible grâce au théorème ).

- Grâce au lemme d'Urysohn ou , on se donne une fonction telle que $\chi_{K_n} \leq f_n \leq \chi_{\Omega_n}$ .

- Il ne reste plus qu'à sommer $g(x)=\sum_{n\in\mathbb{N}} \frac{f_n}{2^n}$ .

- est continue, comme somme convergeant normalement d'une série de fonctions continues (proposition ).

- Sur le complémentaire de la réunion des $\Omega_n\setminus K_n$ , . Cette réunion est de mesure $\leq\epsilon$

- On a bien $\vert g\vert\leq \sup f$ , puisque chaque est majorée par .

D'où le résultat dans le cadre qu'on s'était donné, ie $0 \leq f < 1$ et compact.

$\bullet$ Passons au cas d'une fonction telle que $0 \leq f \leq 1$ , sans hypothèse de compacité sur .

- Donnons nous $\epsilon >0$

- Il existe un compact tel que la mesure de $E\setminus K$ soit inférieur à $\epsilon$ .

- On peut donc travailler sur la restriction de à pour construire , et on a encore le résultat désiré.

$\bullet$ Passons maintenant au cas d'une fonction bornée.

- En considérant et ^1.5, et en multipliant par une constante pertinente pour se ramener à des fonctions à valeurs dans , on a aussi le résultat désiré.

$\bullet$ On peut maintenant considérer le cas le plus général.

- Considérons $A_m=\{x\in \mathbb{R}^n / \vert f(x)\vert>m \}$ . est de mesure finie; on peut donc appliquer la proposition pour conclure que la mesure des tend vers 0 quand $m\to \infty$ .

- On se donne donc tel que $\mu(A_m)<\epsilon$ .

- On peut donc appliquer le résultat partiel ci-dessus à la fonction $f.\chi_{A_m^c}$ (fonction produit de par la fonction caractéristique du complémentaire de , c'est à dire fonction égale à sur le complémentaire de et à 0 partout ailleurs).