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Théorème d'inversion globale

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Théorème d'inversion globale

Définition On appelle application contractante ou contraction une application lipschitzienne dont le coefficient de Lipschitz est .

Théorème [Théorème de Banach du point fixe] Soit un espace métrique complet et une contraction de dans . Alors:
$\bullet\$ admet un unique point fixe
$\bullet\$ $\forall x \ d(x,x_0) \leq \frac1{1-Lip(h)}d(x,h(x))$
Démonstration: Unicité:
$\bullet\$ Supposons et deux points fixes.
$\bullet\$ $d(x_1,x_2)=d(h(x_1),h(x_2))\leq Lip(h).d(x_1,x_2)$ ; donc
Existence:
$\bullet\$ Considérons quelconque dans , on va travailler sur la suite des .
$\bullet\$ Supposons $n \leq m$ , alors

$\displaystyle d(h^m(x),h^n(x)) \leq \sum_{i=m}^{n-1} d(h^i(x),h^{i+1}(x))$

$\displaystyle \leq \sum_{i=m}^{+\infty} Lip(h)^i.d(x,h(x)) \leq \frac{Lip(h)^m}{1-Lip(h)}.d(x,h(x))$

On en déduit facilement les deux résultats annoncés. $\sqcap$ $\sqcup$

Il faut que soit une contraction, c'est à dire une application lischitzienne de constante de Lipschitz ; avec un rapport cela ne marche pas, ni même avec . Par exemple, $x \mapsto x+e^{-x}$ définit une application de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$ , $\mathbb{R}^+$ est bien complet, et on a bien , et pourtant n'admet pas de point fixe.

théorème d'inversion locale , théorème de Cauchy-Lipschitz , la résolution de l'équation de Volterra (voir [6]).

D'autres théorèmes de points fixes existent: par exemple le théorème du point fixe de Brouwer (avec pour application le corollaire ), le théorème de Kakutani , le théorème de Schauder , et même pour ceux qui connaissent un peu la calculabilité un théorème de point fixe que l'on trouvera dans le livre "Théorie de la récursion pour la métamathématique", de R. Smullyan (Masson, 1995), avec pour application le théorème de Rice et ses multiples conséquences (attention, il faut connaître un peu le domaine pour pouvoir se lancer dans ce genre d'originalités...).

Lemme Soient et des ouverts des espaces normés et . On se donne de dans , bijective, dérivable en . Alors $h^{-1}$ est dérivable en si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées:
$\bullet\$ est un isomorphisme de sur
$\bullet\$ Il existe $K \geq 0$ et un voisinage de dans tels que

$\displaystyle \forall y \in W {\parallel}h^{-1}(y)-x_0 {\parallel}\leq K {\parallel}y - h(x_0) {\parallel}$

Démonstration: Tout d'abord montrons que ces deux conditions sont nécéssaires. Pour cela on suppose qu'effectivement $h^{-1}$ est dérivable en , et on procède comme suit:
$\bullet\$ On dérive les deux expressions

$\displaystyle h^{-1}\circ h = Id_E$

$\displaystyle h \circ h^{-1} = Id_E$

et on montre bien que

est un isomorphisme

.
$\bullet\$ Par définition de la dérivée, la quantité ci-dessous tend vers 0 pour $y \to h(x_0)$ :

$\displaystyle \frac{{\parallel}h^{-1}(y)-h^{-1}(h(x_0)) - D(h^{-1})(h(x_0))(y-h(x_0)) {\parallel}}{{\parallel}y - h(x_0) {\parallel}}$

Donc pour

dans un certain

cette quantité est plus petite que

, et donc pour $y \in W$ on a

$\displaystyle {\parallel}h^{-1}(y) - h^{-1}(h(x_0)) {\parallel}\leq K {\parallel}y - h(x_0) {\parallel}$

avec $K=1+{\parallel}D(h^{-1})(h(x_0))$ .

Il reste à prouver la réciproque, c'est à dire que les conditions sont suffisantes.
$\bullet\$ Par définition, on a

$\displaystyle h(x)-h(x_0)=Dh(x_0)(x-x_0)+{\parallel}x - x_0 {\parallel}\epsilon (x)$

avec $\epsilon (x)$ tendant vers 0 pour $x \to x_0$ .
En composant avec $Dh(x_0)^{-1}$ (dont les hypothèses garantissent l'existence), on obtient

$\displaystyle x-x_0 = Dh(x_0)^{-1}(h(x)-h(x_0))-{\parallel}x - x_0 {\parallel}.(Dh(x_0)^{-1}(\epsilon (x)))$

avec

(tout

peut s'écrire ainsi) et

, on obtient alors

$\displaystyle h^{-1}(y)-h^{-1}(y_0)-Dh(x_0)^{-1}(y-y_0)=-Dh(x_0)^{-1}.\epsilon (h^{-1}(y)).{\parallel}h^{-1}(y) - h^{-1}(y_0){\parallel}$

On sait par hypothèse que pour

assez proche de

on a ${\parallel}h^{-1}(y)-h^{-1}(y_0) {\parallel}\leq K.{\parallel}y - y_0 {\parallel}$ , donc

$\displaystyle \frac{Dh(x_0)^{-1}.\epsilon (h^{-1}(y)).{\parallel}h^{-1}(y) - h^... ...{\parallel}Dh(x_0)^{-1}{\parallel}. {\parallel}\epsilon (h^{-1}(y)) {\parallel}$

or $h^{-1}(y)$ tend vers

quand $y \to y_0$ donc cette quantité tend vers 0; ce qui permet de conclure. $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème [Théorème d'inversion globale] Soit une application linéaire continue de dans , avec un espace de Banach et un espace normé, telle que $A^{-1}$ existe et est continue ( est un homéomorphisme linéaire). Soit $\phi$ une application lipschitzienne de dans telle que $Lip(\phi) < {\parallel}A^{-1} {\parallel}^{-1}$ . Alors:
$\bullet\$ $h=A+\phi$ est inversible
$\bullet\$ $h^{-1}$ est lipschitzienne, avec $Lip(h^{-1}) \leq \frac{{\parallel}A^{-1} {\parallel}}{[1-{\parallel}A^{-1} {\parallel}. Lip(\phi)]}$
$\bullet\$ Si est sur ouvert de , et si $\forall x \in U \ Dh(x) \in Isom(E,F)$ , alors $h^{-1}$ est sur l'ouvert , et pour tout $x \in U$ la différentielle de $h^{-1}$ est donnée par

$\displaystyle D(h^{-1})(h(x))=(Dh(x))^{-1}$

Démonstration: Raisonnement en plusieurs étapes:
$\bullet\$ Etant donné

dans

, et on considère l'équation

$\displaystyle h(x)=y$

équivalente à

$\displaystyle x=A^{-1}.y-A^{-1}(\phi(x))$

L'application $x \mapsto A^{-1}(\phi(x))$ est Lipschitzienne de rapport

, et donc l'application $x \mapsto A^{-1}(Y)- A^{-1}(\phi(x))$ aussi. Donc par le théorème du point fixe

de Banach, cette équation a une solution unique

est donc inversible.
$\bullet\$ Avec

, on peut écrire

$\displaystyle x=A^{-1}(y)-A^{-1}(\phi(x))$

$\displaystyle x'=A^{-1}(y')-A^{-1}(\phi(x'))$

et en déduire

$\displaystyle {\parallel}x - x' {\parallel}\leq {\parallel}A^{-1} {\parallel}. ... ...arallel}+ {\parallel}A^{-1} {\parallel}.Lip(\phi).{\parallel}x - x' {\parallel}$

en utilisant l'hypothèse sur $Lip(\phi)$ , on a alors

$\displaystyle {\parallel}x-x' {\parallel}\leq \frac{{\parallel}A^{-1} {\parallel}}{1-{\parallel}A^{-1}{\parallel}.Lip(\phi)}{\parallel}y-y' {\parallel}$