Définition
On appelle application contractante ou contraction une application lipschitzienne dont le coefficient de Lipschitz est .
Théorème [Théorème de Banach du point fixe]
Soit un espace métrique complet et une contraction de dans .
Alors:
admet un unique point fixe Démonstration:Unicité:
Supposons et deux points fixes.
; donc
Existence:
Considérons quelconque dans , on va travailler sur la suite des .
Supposons , alors
On en déduit facilement les deux résultats annoncés.
Il faut que soit une contraction, c'est à dire une application lischitzienne de constante de Lipschitz ; avec un rapport cela ne marche pas, ni même avec
. Par exemple,
définit une application de
dans
,
est bien complet, et on a bien
, et pourtant n'admet pas de point fixe.
théorème d'inversion locale , théorème de Cauchy-Lipschitz , la résolution de l'équation de Volterra (voir [6]).
D'autres théorèmes de points fixes existent: par exemple le théorème du point fixe de Brouwer (avec pour application le corollaire ), le théorème de Kakutani , le théorème de Schauder , et même pour ceux qui connaissent un peu la calculabilité un théorème de point fixe que l'on trouvera dans le livre "Théorie de la récursion pour la métamathématique", de R. Smullyan (Masson, 1995), avec pour application le théorème de Rice et ses multiples conséquences (attention, il faut connaître un peu le domaine pour pouvoir se lancer dans ce genre d'originalités...).
Lemme
Soient et des ouverts des espaces normés et . On se donne de dans , bijective, dérivable en . Alors est dérivable en si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées:
est un isomorphisme de sur Il existe et un voisinage de dans tels que
Démonstration:Tout d'abord montrons que ces deux conditions sont nécéssaires. Pour cela on suppose
qu'effectivement est dérivable en , et on procède comme suit:
On dérive les deux expressions
et
et on montre bien que est un isomorphisme.
Par définition de la dérivée, la quantité ci-dessous tend vers 0 pour
:
Donc pour dans un certain cette quantité est plus petite que ,
et donc pour on a
avec
.
Il reste à prouver la réciproque, c'est à dire que les conditions sont suffisantes.
Par définition, on a
avec
tendant vers 0 pour .
En composant avec
(dont les hypothèses garantissent l'existence), on obtient
avec (tout de peut s'écrire ainsi) et
, on obtient alors
On sait par hypothèse que pour assez proche de on a
, donc
or tend vers quand donc cette quantité tend vers 0;
ce qui permet de conclure.
Théorème [Théorème d'inversion globale]
Soit une application linéaire continue de dans , avec un espace de Banach et un espace normé, telle que existe et est continue ( est un homéomorphisme linéaire). Soit une application lipschitzienne de dans telle que
. Alors:
est inversible
est lipschitzienne, avec
Si est sur ouvert de , et si
, alors
est sur l'ouvert , et pour tout la différentielle de est donnée par
Démonstration:Raisonnement en plusieurs étapes:
Etant donné dans , et on considère l'équation
équivalente à
L'application
est Lipschitzienne de rapport , et donc l'application
aussi. Donc par le théorème du point fixe de Banach, cette équation a une solution unique .
est donc inversible.
Avec et , on peut écrire
et en déduire
en utilisant l'hypothèse sur , on a alors
D'où le résultat sur la constante de Lipschitz de .
Supposons maintenant sur ouvert de . est un ouvert puisque est un homéomorphisme. Par le lemme précédent, est dérivable sur . En dérivant
et
on obtient que
. En écrivant
et en rappelant que
est continue on constate qu'en outre est continue.