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Théorème d'inversion globale

Définition On appelle application contractante ou contraction une application lipschitzienne dont le coefficient de Lipschitz est $ <1$.

Théorème [Théorème de Banach du point fixe] Soit $ X$ un espace métrique complet et $ h$ une contraction de $ X$ dans $ X$. Alors:
$ \bullet\ $$ h$ admet un unique point fixe $ x_0$
$ \bullet\ $ $ \forall x \ d(x,x_0) \leq \frac1{1-Lip(h)}d(x,h(x))$
Démonstration: Unicité:
$ \bullet\ $Supposons $ x_1$ et $ x_2$ deux points fixes.
$ \bullet\ $ $ d(x_1,x_2)=d(h(x_1),h(x_2))\leq Lip(h).d(x_1,x_2)$; donc $ x_1=x_2$
Existence:
$ \bullet\ $Considérons $ x$ quelconque dans $ X$, on va travailler sur la suite des $ h^n(x)$.
$ \bullet\ $Supposons $ n \leq m$, alors

$\displaystyle d(h^m(x),h^n(x)) \leq \sum_{i=m}^{n-1} d(h^i(x),h^{i+1}(x)) $

$\displaystyle \leq \sum_{i=m}^{+\infty} Lip(h)^i.d(x,h(x)) \leq \frac{Lip(h)^m}{1-Lip(h)}.d(x,h(x))$

On en déduit facilement les deux résultats annoncés.$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! Il faut que $ f$ soit une contraction, c'est à dire une application lischitzienne de constante de Lipschitz $ <1$; avec un rapport $ 1$ cela ne marche pas, ni même avec $ d(f(x),f(y))<d(x,y)$. Par exemple, $ x \mapsto x+e^{-x}$ définit une application de $ \mathbb{R}^+$ dans $ \mathbb{R}^+$, $ \mathbb{R}^+$ est bien complet, et on a bien $ d(f(x),f(y))<d(x,y)$, et pourtant $ f$ n'admet pas de point fixe.

Application(s)... théorème d'inversion locale [*], théorème de Cauchy-Lipschitz [*], la résolution de l'équation de Volterra (voir [6]).

D'autres théorèmes de points fixes existent: par exemple le théorème du point fixe de Brouwer [*] (avec pour application le corollaire [*]), le théorème de Kakutani , le théorème de Schauder , et même pour ceux qui connaissent un peu la calculabilité un théorème de point fixe que l'on trouvera dans le livre "Théorie de la récursion pour la métamathématique", de R. Smullyan (Masson, 1995), avec pour application le théorème de Rice et ses multiples conséquences (attention, il faut connaître un peu le domaine pour pouvoir se lancer dans ce genre d'originalités...).

Lemme Soient $ U$ et $ V$ des ouverts des espaces normés $ E$ et $ F$. On se donne $ h$ de $ U$ dans $ V$, $ h$ bijective, dérivable en $ x_0$. Alors $ h^{-1}$ est dérivable en $ h(x_0)$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées:
$ \bullet\ $$ Dh(x_0)$ est un isomorphisme de $ E$ sur $ F$
$ \bullet\ $Il existe $ K \geq 0$ et un voisinage $ W$ de $ h(x_0)$ dans $ F$ tels que

$\displaystyle \forall y \in W {\parallel}h^{-1}(y)-x_0 {\parallel}\leq K {\parallel}y - h(x_0) {\parallel}$

Démonstration: Tout d'abord montrons que ces deux conditions sont nécéssaires. Pour cela on suppose qu'effectivement $ h^{-1}$ est dérivable en $ h(x_0)$, et on procède comme suit:
$ \bullet\ $On dérive les deux expressions

$\displaystyle h^{-1}\circ h = Id_E$

et

$\displaystyle h \circ h^{-1} = Id_E$

et on montre bien que $ Dh(x_0)$ est un isomorphisme.
$ \bullet\ $Par définition de la dérivée, la quantité ci-dessous tend vers 0 pour $ y \to h(x_0)$:

$\displaystyle \frac{{\parallel}h^{-1}(y)-h^{-1}(h(x_0)) - D(h^{-1})(h(x_0))(y-h(x_0)) {\parallel}}{{\parallel}y - h(x_0) {\parallel}}$

Donc pour $ y$ dans un certain $ W$ cette quantité est plus petite que $ 1$, et donc pour $ y \in W$ on a

$\displaystyle {\parallel}h^{-1}(y) - h^{-1}(h(x_0)) {\parallel}\leq K {\parallel}y - h(x_0) {\parallel}$

avec $ K=1+{\parallel}D(h^{-1})(h(x_0))$.

Il reste à prouver la réciproque, c'est à dire que les conditions sont suffisantes.
$ \bullet\ $Par définition, on a

$\displaystyle h(x)-h(x_0)=Dh(x_0)(x-x_0)+{\parallel}x - x_0 {\parallel}\epsilon (x)$

avec $ \epsilon (x)$ tendant vers 0 pour $ x \to x_0$.
En composant avec $ Dh(x_0)^{-1}$ (dont les hypothèses garantissent l'existence), on obtient

$\displaystyle x-x_0 = Dh(x_0)^{-1}(h(x)-h(x_0))-{\parallel}x - x_0 {\parallel}.(Dh(x_0)^{-1}(\epsilon (x)))$

avec $ y=h(x)$ (tout $ y$ de $ V$ peut s'écrire ainsi) et $ y_0=h(x_0)$, on obtient alors

$\displaystyle h^{-1}(y)-h^{-1}(y_0)-Dh(x_0)^{-1}(y-y_0)=-Dh(x_0)^{-1}.\epsilon (h^{-1}(y)).{\parallel}h^{-1}(y) - h^{-1}(y_0){\parallel}$

On sait par hypothèse que pour $ y$ assez proche de $ y_0$ on a $ {\parallel}h^{-1}(y)-h^{-1}(y_0) {\parallel}\leq K.{\parallel}y - y_0 {\parallel}$, donc

$\displaystyle \frac{Dh(x_0)^{-1}.\epsilon (h^{-1}(y)).{\parallel}h^{-1}(y) - h^...
...{\parallel}Dh(x_0)^{-1}{\parallel}. {\parallel}\epsilon (h^{-1}(y)) {\parallel}$

or $ h^{-1}(y)$ tend vers $ x_0$ quand $ y \to y_0$ donc cette quantité tend vers 0; ce qui permet de conclure.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Théorème d'inversion globale] Soit $ A$ une application linéaire continue de $ E$ dans $ F$, avec $ E$ un espace de Banach et $ F$ un espace normé, telle que $ A^{-1}$ existe et est continue ($ A$ est un homéomorphisme linéaire). Soit $ \phi$ une application lipschitzienne de $ E$ dans $ F$ telle que $ Lip(\phi) < {\parallel}A^{-1} {\parallel}^{-1}$. Alors:
$ \bullet\ $$ h=A+\phi$ est inversible
$ \bullet\ $$ h^{-1}$ est lipschitzienne, avec $ Lip(h^{-1}) \leq \frac{{\parallel}A^{-1} {\parallel}}{[1-{\parallel}A^{-1} {\parallel}. Lip(\phi)]}$
$ \bullet\ $Si $ h$ est $ C^1$ sur $ U$ ouvert de $ E$, et si $ \forall x \in U \ Dh(x) \in Isom(E,F)$, alors $ h^{-1}$ est $ C^1$ sur l'ouvert $ h(U)$, et pour tout $ x \in U$ la différentielle de $ h^{-1}$ est donnée par

$\displaystyle D(h^{-1})(h(x))=(Dh(x))^{-1}$


Démonstration: Raisonnement en plusieurs étapes:
$ \bullet\ $Etant donné $ y$ dans $ F$, et on considère l'équation

$\displaystyle h(x)=y$

équivalente à

$\displaystyle x=A^{-1}.y-A^{-1}(\phi(x))$

L'application $ x \mapsto A^{-1}(\phi(x))$ est Lipschitzienne de rapport $ <1$, et donc l'application $ x \mapsto A^{-1}(Y)- A^{-1}(\phi(x))$ aussi. Donc par le théorème du point fixe de Banach, cette équation a une solution unique $ x$.
$ h$ est donc inversible.
$ \bullet\ $Avec $ y=h(x)$ et $ y'=h(x')$, on peut écrire

$\displaystyle x=A^{-1}(y)-A^{-1}(\phi(x))$

$\displaystyle x'=A^{-1}(y')-A^{-1}(\phi(x'))$

et en déduire

$\displaystyle {\parallel}x - x' {\parallel}\leq {\parallel}A^{-1} {\parallel}. ...
...arallel}+ {\parallel}A^{-1} {\parallel}.Lip(\phi).{\parallel}x - x' {\parallel}$

en utilisant l'hypothèse sur $ Lip(\phi)$, on a alors

$\displaystyle {\parallel}x-x' {\parallel}\leq \frac{{\parallel}A^{-1} {\parallel}}{1-{\parallel}A^{-1}{\parallel}.Lip(\phi)}{\parallel}y-y' {\parallel}$

D'où le résultat sur la constante de Lipschitz de $ h^{-1}$.
$ \bullet\ $Supposons maintenant $ h$ $ C^1$ sur $ U$ ouvert de $ E$. $ h(U)$ est un ouvert puisque $ h$ est un homéomorphisme. Par le lemme précédent, $ h^{-1}$ est dérivable sur $ U$. En dérivant

$\displaystyle h^{-1}\circ h = Id_E$

et

$\displaystyle h \circ h^{-1} = Id_E$

on obtient que $ D(h^{-1})(h(x))=(Dh(x))^{-1}$. En écrivant

$\displaystyle D(h^{-1})(y)=Dh(h^{-1}(y))^{-1}$

et en rappelant que $ Inv:Isom(E,F)\to Isom(F,E),h \mapsto h^{-1}$ est continue on constate qu'en outre $ D(h^{-1})$ est continue.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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