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Théorème d'inversion locale

Définition [Difféomorphisme $ C^1$] Une application $ h$ de $ U$ dans $ V$ avec $ U$ ouvert d'un espace vectoriel normé et $ V$ ouvert d'un espace vectoriel normé est un difféomorphisme $ C^1$ si $ h$ est bijective et de classe $ C^1$ et de réciproque de classe $ C^1$. Plus généralement, avec $ k\geq 1$, une application $ h$ de $ U$ dans $ V$ avec $ U$ ouvert d'un espace vectoriel normé et $ V$ ouvert d'un espace vectoriel normé est un difféomorphisme $ C^k$ si $ h$ est bijective et de classe $ C^k$ et de réciproque de classe $ C^k$.

Attention! Une application bijective et $ C^1$ n'est pas un difféomorphisme $ C^1$; il faut aussi que la réciproque soit $ C^1$!

Théorème [Théorème d'inversion locale] Soit $ h$ de $ U$ dans $ F$ une application $ C^1$, avec $ U$ ouvert de $ E$, et $ E$ et $ F$ des espaces de Banach. Si la différentielle $ Dh(x_0)$ est bijective de $ E$ dans $ F$ pour un certain $ x_0$ de $ U$, alors il existe $ U_0$ voisinage de $ x_0$ dans $ E$ et un voisinage ouvert $ V_0$ de $ f(x_0)$ dans $ F$ tels que $ h$ induit un difféomorphisme $ C^1$ de $ U_0$ dans $ V_0$. On a alors

$\displaystyle D(h^{-1})(h(x))=(Dh(x))^{-1}$

pour tout $ x$ dans $ U_0$.

Application(s)... Voir le théorème [*] et le corollaire [*]. Le théorème d'inversion locale permettra aussi de montrer l'équivalence des différentes définitions des variétés de $ \mathbb{R}^n$, voir définition [*].

Démonstration: On pourra se référer par exemple à [13].

Attention! Dans le cas de la dimension finie, le fait que la différentielle soit bijective implique que les dimensions des espaces soient les mêmes, et que le jacobien (défini puisque les dimensions sont les mêmes) est non nul.

Corollaire Soit $ f$ une application $ C^1$ d'un ouvert $ U$ d'un espace de Banach $ E$ dans un espace de Banach $ F$; si $ f$ injective et si sa différentielle $ f'(x)$ est un isomorphisme en tout $ x \in U$, alors $ f$ est un $ C^1$-difféomorphisme de $ U$ sur $ f(U)$, qui est alors un ouvert de $ F$.

Modulo le résultat selon lequel l'application qui à $ f$ dans $ Isom(E,F)$ associe $ f^{-1}$ est $ C^\infty$ (que l'on trouvera par exemple dans [3]), on montre que si $ f$ est un $ C^1$-difféomorphisme de classe $ C^n$, alors $ f$ est un $ C^n$ difféomorphisme.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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