Théorème d'inversion locale

Définition [Difféomorphisme ] Une application de dans avec ouvert d'un espace vectoriel normé et ouvert d'un espace vectoriel normé est un difféomorphisme si est bijective et de classe et de réciproque de classe . Plus généralement, avec , une application de dans avec ouvert d'un espace vectoriel normé et ouvert d'un espace vectoriel normé est un difféomorphisme si est bijective et de classe et de réciproque de classe .

Une application bijective et n'est pas un difféomorphisme ; il faut aussi que la réciproque soit !

Théorème [Théorème d'inversion locale] Soit de dans une application , avec ouvert de , et et des espaces de Banach. Si la différentielle est bijective de dans pour un certain de , alors il existe voisinage de dans et un voisinage ouvert de dans tels que induit un difféomorphisme de dans . On a alors

Voir le théorème et le corollaire . Le théorème d'inversion locale permettra aussi de montrer l'équivalence des différentes définitions des variétés de , voir définition .

Démonstration: On pourra se référer par exemple à [13].

Dans le cas de la dimension finie, le fait que la différentielle soit bijective implique que les dimensions des espaces soient les mêmes, et que le jacobien (défini puisque les dimensions sont les mêmes) est non nul.

Corollaire Soit une application d'un ouvert d'un espace de Banach dans un espace de Banach ; si injective et si sa différentielle est un isomorphisme en tout , alors est un -difféomorphisme de sur , qui est alors un ouvert de .

Modulo le résultat selon lequel l'application qui à dans associe est (que l'on trouvera par exemple dans [3]), on montre que si est un -difféomorphisme de classe , alors est un difféomorphisme.